Bestimme alle x∈R mit logx(16) + log x(4) = 2

Question

Aufgabe: Bestimme alle x∈R mit log_x(16) + log _x(4) = 2

In der Lösung steht x= 8

Problem/Ansatz: Könnte mir jmd. den Rechenweg erklären?

Also wie man auf x = 8 kommt.

Answer 1

$$\log_{x}{16} + \log_{x}{4} = 2 \newline \log_{x}{(16 \cdot 4)} = 2 \newline \log_{x}{64} = 2 \newline \frac{\log{64}}{\log{x}} = 2 \newline \frac{\log{x}}{\log{64}} = \frac{1}{2} \newline \log{x} = \frac{1}{2} \cdot \log{64} \newline \log{x} = \log{64^{\frac{1}{2}}} \newline \log{x} = \log{\sqrt{64}} \newline \log{x} = \log{8} \newline x = 8$$

oder mittels Umschreiben

$$\log_{x}{64} = 2 \newline x^2 = 64 \newline x = 8$$

Comments

Vielen Dank für den ausführlichen Rechenweg

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Nach der dritten Zeile kann man doch schon schreiben:

x²=64

x=8

Da die Basis positiv sein muss, entfällt die negative Lösung.

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log_x 16 + log_x 4 = 2

log_x 16 · 4 = 2

In der zweiten Zeile wäre unbedingt ein Klammerpaar erforderlich:

log_x (16 · 4) = 2

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Vielen Dank für die Verbesserungen. Ich habe sie oben mit aufgenommen.

Answer 2

Basiswechsel: \(\log_ab = \frac{\log_cb}{\log_ca}\) für alle \(b\in \mathbb{R}\) und alle \(a,c \in \mathbb{R}^+\setminus \{1\}\).

Damit bekommst du das \(x\) aus der Basis weg.

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Dankeschön für die schnelle Antwort

Answer 3

\(\log_x16+\log_x4=2\iff 4\log_x 2+2\log_x 2=2\iff 6\log_x 2=2\iff\)

\(\log_x 2=1/3\iff x^{1/3}=2\iff x=2^3=8\).

Answer 4

Wenn Du den logarithmus verstanden hast (was sehr lohnenswert ist), gibt es nicht viel zu rechnen.

Merkregel (Def. des logarithmus!): \(\log_x a\) ist die Zahl, die als Exponent von \(x\) verwendet, \(a\) ergibt. Als Regel: \(x^{\log_x a}=a\).

Andere Formulierung: \(\log_x a\) ist die Antwort auf die Frage "\(x\) hoch wieviel ist \(a\)?". Beispiel: \(\log_2 8 =3\), weil \(2^3=8\) ist.

Wenn Du also bei \(\log_x 64=2\) angelangt bist: \(x^2=64\), was sofort (ohne Umformungen) auf \(x=8\) führt, fertig.

Comments

gelöscht

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Answer 5

Es gilt:

log(a)+log(b) = log(a*b)

-> log_x(16*4) = 2

log_x(64)= 2

Das ist äquivalent mit: (als Frage: Welche Basis muss man quadrieren um 64 zu erhalten?)

x²= 64

x= +-8

x=-8 entfällt als Lösung:

Logarithmen zu einer negativen Basis sind nicht definiert.

oder:

log_x(2⁶)= 2

6*log_x(2) = 2

log_x(2)= 1/3 | Exponenten zur Basis x

x^(log_x(2)) = x^1/3

2= x^1/3

x= 2^3 =8