Aufgabe:
Angenommen, \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) ist eine gerade Funktion (d.h. \( \forall x \in \mathbb{R} : f(-x) = f(x) \)) und \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) ist eine ungerade Funktion (d.h. \( \forall x \in \mathbb{R} : g(-x) = -g(x) \)). Wenn alle folgenden Integrale existieren, welche Gleichung ist dann sicher richtig?
A)\(\quad \int_{-2019}^{2019} \frac{f(x)}{1 + 2^{g(x)}} \,dx = 0\)
B)\(\quad \int_{-2019}^{2019} \frac{f(x)}{1 + 2^{g(x)}} \,dx = 2 \cdot \int_{0}^{2019} \frac{f(x)}{1 + 2^{g(x)}} \,dx\)
C) \(\quad \int_{-2019}^{2019} \frac{f(x)}{1 + 2^{g(x)}} \,dx = \int_{0}^{2019} f(x) \,dx \)\)
D) Keine der oben genannten Gleichungen ist sicher richtig.
Problem/Ansatz:
Folgende Eigenschaften kenne ich:
Das Integral einer geraden Funktion ist zweimal das Integral von 0 bis zur oberen Grenze und das Integral einer ungerade Funktion ist 0.
Aber hier bei dem Problem weiß ich leider nicht, was ich tun muss, weil gerade und ungerade Funktion irgendwie kombiniert werden.
Danke für eure Hilfe!