Wenn alle folgenden Integrale existieren, welche Gleichung ist dann sicher richtig?

Question

Aufgabe:

Angenommen, \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) ist eine gerade Funktion (d.h. \( \forall x \in \mathbb{R} : f(-x) = f(x) \)) und \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) ist eine ungerade Funktion (d.h. \( \forall x \in \mathbb{R} : g(-x) = -g(x) \)). Wenn alle folgenden Integrale existieren, welche Gleichung ist dann sicher richtig?

A)\(\quad \int_{-2019}^{2019} \frac{f(x)}{1 + 2^{g(x)}} \,dx = 0\)

B)\(\quad \int_{-2019}^{2019} \frac{f(x)}{1 + 2^{g(x)}} \,dx = 2 \cdot \int_{0}^{2019} \frac{f(x)}{1 + 2^{g(x)}} \,dx\)

C) \(\quad \int_{-2019}^{2019} \frac{f(x)}{1 + 2^{g(x)}} \,dx = \int_{0}^{2019} f(x) \,dx \)\)

D) Keine der oben genannten Gleichungen ist sicher richtig.

Problem/Ansatz:

Folgende Eigenschaften kenne ich:

Das Integral einer geraden Funktion ist zweimal das Integral von 0 bis zur oberen Grenze und das Integral einer ungerade Funktion ist 0.

Aber hier bei dem Problem weiß ich leider nicht, was ich tun muss, weil gerade und ungerade Funktion irgendwie kombiniert werden.

Danke für eure Hilfe!

Comments

Forme mal das Integral von -2019 bis 0 mit Subs x=-s um. Zerlegen dann für C) das Integral in 2 Teile (-2019 bis 0 und 0 bis 2019). Benutze dann für den 1. Teil das ErgebniscDeiner Substitution....

---

Keine Reaktion mehr? Kein Interesse mehr?

---

Klar, bin aber bis heute Abend unterwegs. Werde gleich im Zug mich mal mit euren Vorschlägen auseinander setzen :)

---

Habe es mal versucht:

\( \int_{-2019}^{0} \frac{f(x)}{1 + 2^{g(x)}} \,dx \)

Substitution \( x = -s \) durch, wobei \( dx = -ds \):

\(= \int_{2019}^{0} \frac{f(-s)}{1 + 2^{g(-s)}} \,(-ds) = -\int_{2019}^{0} \frac{f(-s)}{1 + 2^{g(-s)}} \,ds \)

Grenzen vertauscht:

\(= \int_{0}^{2019} \frac{f(-s)}{1 + 2^{g(-s)}} \,ds \)

f(x) gerade und g(x) ungerade:

\(= \int_{0}^{2019} \frac{f(s)}{1 + 2^{-g(s)}} \,ds \)

Jetzt haben wir:

\( \int_{-2019}^{2019} \frac{f(x)}{1 + 2^{g(x)}} \,dx = \int_{0}^{2019} \frac{f(s)}{1 + 2^{-g(s)}} \,ds + \int_{0}^{2019} \frac{f(x)}{1 + 2^{g(x)}} \,dx \)

und dann?

---

Integral zusammenfassen, f ausklammern  Bruchrechnung. .

---

Aber um die Integrale zusammenzufassen, muss ich die substitution wieder rückgängig machen oder nicht? \(s = -x\), wobei \( ds = -dx \):

(1. Integral)

\(=\int_{0}^{-2019} \frac{f(-x)}{1 + 2^{-g(-x)}} \,(-dx) \)

\(=-\int_{0}^{-2019} \frac{f(x)}{1 + 2^{g(x)}} \,dx \)

\(=\int_{0}^{2019} \frac{f(x)}{1 + 2^{g(x)}} \,dx \)

aber dann würde ich ja an 2 mal das Integral kommen. Was mache ich falsch?

---

Die Bezei Hunger det Integrationsvariable hat doch keine Bedeutung:

$$\int f(x)dx=\int f(s)ds=\int f(£)d£...$$

---

Die Bezeichnung der Integrationsvariable....

---

Das wusste ich nicht, danke.

Wenn ich das mache, dann

\(\quad \int_{-2019}^{2019} \frac{f(x)}{1 + 2^{g(x)}} \,dx = \int_{0}^{2019} \frac{f(x)}{1 + 2^{-g(x)}} + \int_{0}^{2019} \frac{f(x)}{1 + 2^{g(x)}} = \int_{0}^{2019} f(x)(\frac{1}{1 + 2^{-g(x)}} + \frac{1}{1 + 2^{g(x)}}) = \int_{0}^{2019} f(x)(1)= \int_{0}^{2019} f(x) \,dx \)

Also ist Antwort C richtig?

---

So sehe ich das auch

---

Vielen Dank!!!!!

Answer 1

Sei \(h(x) = \frac{f(x)}{1 + 2^{g(x)}}\).

Zu A) Untersuche ob \(h\) ungerade ist.

Zu B) Untersuche ob \(h\) gerade ist.

Answer 2

A) gilt, wenn der Bruch der Term einer ungeraden Funktion wäre. Ist er aber nicht.

B) gilt, wenn der Bruch der Term einer geraden Funktion wäre. Ist er aber nicht.

C) gilt, wenn der Bruch der Term einer geraden Funktion wäre und immer durch 2 geteilt wird. Das ist aber auch nicht der Fall.

Also würde ich sagen

D) Keine der oben genannten Gleichungen ist sicher richtig.

Denk dir doch mal ein Beispiel mit einer sehr einfachen geraden Funktion f(x) und einer sehr einfachen ungeraden Funktion g(x) aus.