Begründen Sie, dass die folgenden R-Integrale existieren und berechnen Sie diese.

Question

Aufgabe:

Begründen Sie, dass die folgenden R-Integrale existieren und berechnen Sie diese.
(i) $\int \limits_{A}\left(\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}\right) d\left(x_{1}, x_{2}\right)$ für $A:=[1,2]^{2}$.
(ii) $\int \limits_{A} x_{1} \cos \left(x_{1}^{2}+x_{2}\right) d\left(x_{1}, x_{2}\right)$ für $A:=\left[-\sqrt{\frac{\pi}{2}}, \sqrt{\frac{\pi}{2}}\right] \times\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$.

Answer 1

Aloha :)

Beide Funktionen sind über ihrem jeweiligen Definitionsbreich $A$ stetig und daher auch R-integrierbar.

zu i) Die Integrationsreihenfolge ist egal, weil die Integrationsgrenzen der einen Variable von der anderen Varibalen unabhängig sind. Wir integrieren zuerst über $dy$:

$$I_1=\int\limits_A\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)d(x;y)=\int\limits_{x=1}^2\;\int\limits_{y=1}^2\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)dy\,dx=\int\limits_{x=1}^2\left[\frac{y}{x^2}-\frac1y\right]_{y=1}^2dx$$$$\phantom{I_1}=\int\limits_{x=1}^2\left(\left(\frac{2}{x^2}-\frac12\right)-\left(\frac{1}{x^2}-1\right)\right)dx=\int\limits_{x=1}^2\left(\frac{1}{x^2}+\frac12\right)dx=\left[-\frac1x+\frac x2\right]_{x=1}^2$$$$\phantom{I_1}=\left(-\frac12+1\right)-\left(-1+\frac12\right)=1$$

zu ii) Auch hier ist die Integrationsreihenfolge mit der gleichen Begründung wie bei (i) egal. Auf den ersten Blick sollten wir mit der Integration über $dx$ beginnen, da die innere Ableitung der Cosinus-Funktion bis auf den fehlenden Faktor $2$ schon als Faktor im Integranden vorkommt:$$I_2=\int\limits_Ax\cos(x^2+y)\,d(x,y)=\int\limits_{y=0}^{\frac\pi2}\;\;\int\limits_{x=-\sqrt{\frac\pi2}}^{\sqrt{\frac\pi2}}x\cos(x^2+y)\,dx\,dy$$$$\phantom{I_3}=\int\limits_{y=0}^{\frac\pi2}\left[\frac12\sin(x^2+y)\right]_{x=-\sqrt{\frac\pi2}}^{\sqrt{\frac\pi2}}\,dy=\int\limits_{y=0}^{\frac\pi2}\left(\frac12\sin\left(\frac\pi2+y\right)-\frac12\sin\left(\frac\pi2+y\right)\right)\,dy=0$$