Ableitung einer Funktion, die Matrix enthält

Question

Aufgabe:

Hallo

wir haben die Ableitung einer Funktion gebildet ( Siehe Skript ), die eine Matrix enthält.

Problem/Ansatz:

Problem ist, wohin das \( \vec{h} \) ist. Kann man das etwa einfach weglassen?

Besagte Stelle ist rot markiert...

Text erkannt:

- \( C \in \) matnxn, \( _{n} \quad f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}, f(\vec{x})=\vec{x}^{\top} C \vec{x} \) (quadratische Form). Dann gill
\( \begin{array}{l} f\left(\vec{x}_{0}+\vec{h}\right)=\left(\vec{x}_{0}+\vec{h}\right)^{\top} C\left(\vec{x}_{0} \vec{h}\right)=\underbrace{\vec{x}_{0}^{\top} C \vec{x}_{0}}_{f\left(\vec{x}_{0}\right)}+\vec{h}^{\top} C \vec{x}_{0}+ \\ \quad+\vec{x}^{\top} C \overrightarrow{x_{0}}+\underbrace{\vec{h}^{\top} C \vec{h}}_{\varphi(\vec{h})} \\ \Rightarrow \operatorname{df}\left(\vec{x}_{0}\right) \vec{h}=\vec{h}^{\top} C \vec{x}_{0}+\vec{x}_{0}^{\top} C \vec{h}=\vec{x}_{0}^{\top} C^{\top}[\vec{h}]+\vec{x}^{\top} C[\vec{h}], \end{array} \)
oder
\( d f\left(\vec{x}_{0}\right)=\vec{x}_{0}^{\top}\left(C+C^{\top}\right)=\vec{x}_{0}^{T} C+\vec{x}_{0}^{\top} C^{\top} \)

Lg

Answer 1

Beachte die Def. der (totalen) Diffbarkeit, siehe z.B. https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Totale_Differenzierbarkeit

Es muss \(\lim\limits_{\vec h\to 0} \frac1{\|\vec h\|}(f(\vec x_0+\vec h)-f(\vec x_0)-L(\vec h))=0\) gelten. Hierbei ist \(L:\R^n\to \R\) eine lineare Abbildung.

Das ist nach Deiner Herleitung für \(L(\vec h)=\vec h^TC\vec x_0+\vec x_0^TC\vec h=\vec x_0^T(C^T+C)\vec h\) erfüllt.

\(L(\vec h)\) hat die Form "Matrix mal \(\vec h\)" (da \(L\) lineare Abbildung ist), diese Matrix ist die Ableitung, in Deiner Notation also \(df(\vec x_0)\).

Das "mal \(\vec h\)" dahinter ist der Funktionswert der linearen Abbildung an der Stelle \(\vec h\), das ist was anderes als die Abbildung selbst (die gar kein \(\vec h\) enthält).

Comments

ja augenscheinlich!!! Danke.