Matrixzerlegung in Polynom einsetzen

Question

Hallo, stehe gerade etwas auf dem Schlauch. Kann mir bitte jemand kurz erklären, warum p(SAS^-1)=Sp(A)S^-1 gilt für eine invertierbare, quadratische Matrix S, beliebige quadratische Matrix A und ein beliebiges Polynom. Komme einfach nicht drauf.

Answer 1

\(A\mapsto SAS^{-1}\) ist ein (innerer) Automorphismus der Matrizenalgebra:

\((SAS^{-1})(SBS^{-1})=SA(S^{-1}S)BS^{-1}=S(AB)S^{-1}\).

Ist nun \(p=\sum_{i=0}^na_iX^i\), so gilt

\(Sp(A)S^{-1}=S(\sum a_iA^i)S^{-1}=\sum a_iSA^iS^{-1}==\sum a_i(SAS^{-1})^i=p(SAS^{-1})\).

Comments

Danke! Hab Potenzen von Matrixprodukten mit denen von Zahlen vertauscht.