Bestimme die Linearfaktorzerlegung des folgenden Polynoms

Question

Aufgabe:

Bestimme die Linearfaktorzerlegung der folgenden Polynome, indem ihr die vorgegebene Nullstelle für eine Polynomdivision nutzt. Bringt das Polynom danach auf die Darstellung

P_i = a(x-b₁)(x-b₂)(x-b₃), a,b₁,b₂,b₃ ∈ℝ

wobei die Darstellungen natürlich unterschiedliche Faktoren aufweisen.

a) P₁(x) = -2x^3 + (2a+1)x^2 - (a-1) x-a,    P₁(a)=0, a∈ℝ

Ich habe leider Probleme bei dieser Aufgabe, wie löse ich diese am besten? Vielen Dank :)

Answer 1

Aloha :)

du sollst den Faktor \((x-a)\) ausklammern. Allerdings braucht man hier keine Polynomdivision. Das kann man sofort hinschreiben:

$$P_1(x)=-2x^3+(2a+1)x^2-(a-1)x-a$$$$P_1(x)=-2x^3+2ax^2+x^2-ax+x-a$$$$P_1(x)=-2x^2(x-a)+x(x-a)+(x-a)$$$$P_1(x)=(-2x^2+x+1)(x-a)$$

Jetzt kannst du den quadratischen Anteil auch noch in 2 Faktoren zerlegen:$$P_1(x)=-(2x^2-x-1)(x-a)$$$$P_1(x)=-(2x^2-2x+x-1)(x-a)$$$$P_1(x)=-(2x(x-1)+(x-1))(x-a)$$$$P_1(x)=-(2x+1)(x-1)(x-a)$$