Linearfaktorzerlegung des Polynoms. f(x)=x^4-5x^3+7x^2-3x

Question

wie kann ich dieses Polynom in Linearfaktoren zerlegen?

f(x)=x^4-5x^3+7x^2-3x

Answer 1

x^4 - 5·x^3 + 7·x^2 - 3·x = 0

Zunächst x ausklammern

x·(x^3 - 5·x^2 + 7·x - 3) = 0

x1 = 0

x^3 - 5·x^2 + 7·x - 3 = 0

Man sieht eine Nullstelle bei +1 weil die Summe der Koeffizienten Null ist. Also Polynomdivision durch (x - 1)

(x^3 - 5·x^2 + 7·x - 3) / (x - 1) = x^2 - 4·x + 3

x2 = 1

x^2 - 4·x + 3 = 0

Faktorzerlegung mit dem Satz von Vieta

(x - 3)*(x - 1) = 0

x3 = 1

x4 = 3

Damit hat man alle Nullstellen gefunden. Die Faktorzerlegung lautet also

x^4 - 5·x^3 + 7·x^2 - 3·x = x·(x - 3)·(x - 1)^2

Answer 2

1. Ausklammern von x:

x(x^3-5x^2+7x-3)=0

->x_1=0

2. Raten einer Nullstelle x_2=1 :

(x^3-5x^2+7x-3):(x -1)= x^2 -4x +3

-(x^3-x^2)

-----------------------

-  4 x^2 +7x

-( -4 x^2 +4x)

-------------------------

3x -3

-(3x-3)

-------------------------

0

3. Berechnung mittels pq- Formel (z.B.)

x^2 -4x +3 =9

x_3= 3

x_4=1

---------->

x(x-3)(x-1)^2=0

Answer 3

Klammere x aus und stelle fest, dass x=1 und x=3 Nullstellen des kubischen Faktors sind und x=1 auch Nullstelle seiner Ableitung. Du bekommst so nahezu ohne großen Aufwand die vollständige Zerlegung
$$ x^4-5x^3+7x^2-3x = x\cdot\left(x-3\right)\cdot\left(x-1\right)^2  $$Es ist auch möglich und nicht schwer, zuerst x und danach durch geschicktes Gruppieren (x-3) auszuklammern und schließlich den verbleibenden quadratischen Faktor mit der zweiten binomischen Formel zu zerlegen. Auf jeden Fall wird keine Polynomdivision benötigt!