orthogonale Projektion im Vektorraum der quadratischen Polynome

Question

Aufgabe:

Sei V = R[x]_≤2 = {p(x) = a + bx + cx² | a, b, c, ∈ R}
der Vektorraum der quadratischen Polynome und
A: V → R⁴

Text erkannt:

\( p(x) \mapsto A(p):=\left(\begin{array}{c} p(3) \\ p(1) \\ p(-1) \\ p(-3) \end{array}\right) \)
die Auswertung an den Stellen \( 3,1,-1,-3 \). Wir betrachten \( \mathbb{R}^{4} \) als euklidischen Vekotrraum mit dem Standardskalarprodukt \( \langle \),\( \rangle . \)
(1) Bestimmen Sie eine orthogonale Basis von \( \operatorname{Bild}(A) \subseteq \mathbb{R}^{4} \).
(2) Geben Sie eine Formel an, die für einen gegebenen Vektor \( \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{4} \) das quadratische Polynom \( p \in V \) berechnet für das \( \|\mathbf{v}-A(p)\| \) minimal ist.

Problem/Ansatz:

zu (1) hätte ich einfach die Basis 1,3x,3x² mit Gram-Schmidt orthogonalisiert.

Bei (2) bin ich überfragt. Aus der VO kenne ich die orthogonale Projektion $$ \sum \limits_{n=0}^{4} <v,w_i>w_i=min(||v-A(p)||) $$

$$\Longrightarrow \sum \limits_{n=0}^{4} <v,w_i>w_i =<v,p(3)>p(3)+<v,p(1)>p(1)+<v,p(-1)>p(-1)+<v,p(-3)>p(-3)$$

$$=v_1*(9c+3b+a)+...$$ ???

Answer 1

Zu (1): Gefragt ist eine OGB von Bild(A), das liegt also in \(\R^4\) und nicht im Polynomraum.Diese OGB wird maximal 3 Vektoren haben (da \(\dim V=3\)). Rechne die erstmal aus (mit GS).

Zu (2): Die Projektionsformel stimmt, aber die 4 in der Summe nicht (der richtige Wert ergibt sich aus (1)). Dann rechne für allgemeines v den Vektor A(p) aus. Danach aus dem A(p) das p. Polynome kommen also erst am Ende ins Spiel.

Mach Dir in jedem einzelnen Schritt klar, in welchem Raum Du bist (ob in V (Polynome) oder R^4 (klassische Vektoren)), dann entsteht auch keine Verwirrung.

Comments

Hallo Nudger,

erstmal danke für die Antwort, welche mir sehr geholfen hat.

(1) Ich bilde die "Standardbasis" auf Bild(A) ab:

$$A(v)=A(a+bx+cx^2) und A(1)=0+1x+0x^2=(1  1  1  1)^t=v_1 $$

Analog zu x und x^2

$$ A(x)=0+1x+0x^2=(3  1  -1  -3)=v_2$$

$$A(x^2)=( 9  1  -1  9)=v_3)$$

Mit GS bekomme ich 3 orthogonal Vektoren. Ich nenne die mal

$$w_1,w_2  und  w_3$$

$$A( p)=\begin{pmatrix} a+3b+9c\\a+b+c\\a-b+c\\a-3b+9c \end{pmatrix}=p'$$

Mit der Projektionsformel berechne ich mit:

$$\sum \limits_{n=1}^{3} <p',w_i>w_i= \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p(3)\\p(1)\\p(-1)\\p(-3) \end{pmatrix}$$

Also habe ich 3 Variablen (a,b,c) und 4 Gleichungen. Daraus bekomme ich dann das kleinste Polynom heraus, für das ||v-A( p)|| minimal wird.

Habe ich das so richtig verstanden?

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Ich kann bei Deiner Rechnung zu (1) kein Ergebnis erkennen. Wir brauchen Vektoren aus dem \(\R^4\). Die kannst Du auch als Zeile mit \((...)^T\) schreiben, aber dann trenne die Elemente mit Komma. Außerdem brauchen wir noch den Nachweis als Basis (lin. unabh. reicht hier). Danach sehen wir weiter.

Und nochmal: A(1) ist kein Polynom. Beachte unbedingt den Tipp im letzten Satz ("Mach Dir in jedem...").

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Die Vektoren sind (1,1,1,1)^t ,(3,1,-1,-3)^t ,(9,1,-1,9)^t

^{In meiner Vorschau sieht das immer anders aus. Die 3 Vektoren sind linear unabhängig.}

Die Rechnung zu einer ONB wollte ich mir sparen. Deshalb einfach w_i

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Ein Vorzeichenfehler. Der Nachweis von lin. unabh. ist nötig.

Und dann gehe nach meiner Anleitung oben vor ("zu (2)"). Es fängt also an mit "sei \(v\in \R^4\)".

Benenne nicht Vektoren wie Polynome, schon gar nicht wie eine Ableitung. Nochmal sei an den Tipp erinnert...