Extrempunkte bestimmen bei Funktionsscharen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Funktionen f, mit f_{a}(x) = 1/4 * x ^ 4 + a/3 * x ^ 3 + 1/2 * x ^ 2

a) Bestimmen Sie einen Wert für a so, dass der Graph von f_{a} genau einen Extrempunkt hat.

b) Bestimmen Sie einen Wert für a so, dass der Graph von f_{a} genau zwei Extrempunkte hat.

c) Bestimmen Sie einen Wert für a so, dass der Graph von f_{a} die größtmögliche Anzahl an Extrempunkten hat.

d) Untersuchen Sie die Anzahl möglicher Wendepunkte des Graphen von f_{a} in Abhängigkeit vom Wert des Parameters a.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie man die Aufgabe lösen kann und verzweifele gerade daran.

Answer 1

Wann existiert ein Extrempunkt? Wenn die erste Ableitung 0 ist.

Dann erhältst du ein Polynom von Grad 3 und kannst en x ausklammern. Dann kannst du den Rest mit der PQ Formel lösen. Dann schaust du dir den Radikanten an (Also die Wurzel) und schaust wann die negativ, 0 und positiv ist. Prüfe mit der zweiten Ableitung dann ob Extrema vorliegen

Werte für a:

a) a=0

b) 2= a = -2 ohne die 0

c) es sind 3 nämlich wenn a>2 oder a<-2

Zu den Wendepunkten:

Hier betrachrte die zweite Ableitung und setze die 0. Dann hast du ein Polynom zweiten Grades und löse die Gleichung wieder. Betrachte dann wieder den radikanten in der Pq Formel und schaue wann der positiv, negativ und 0 ist für die jeweiligen a´s.

Werte für a:

a=0 keine

$$ \sqrt{3}$$>a>$$ -\sqrt{3}$$ einen

für außerhalb von dem Bereich 2

Comments

Wann existiert ein Extrempunkt? Wenn die erste Ableitung 0 ist.

Gegenbeispiel: f(x) = x³.

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Es geht hier um den Umgang mit der Aufgabe. Das ist genau was gefragt ist, nicht sich noch GEdanken zu machen, ob es ein Sattelpunkt ist. Man kann das überprüfen ist hier aber nicht gefragt, bin ich mir sehr sicher

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Man kann das überprüfen ist hier aber nicht gefragt, bin ich mir sehr sicher

Und ich bin mir absolut sicher, dass man das prüfen muss, bzw. etwas geschickter vorgehen muss.

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b) 2>a>-2 ohne die 0

-2 ≤ a ≤ 2 ist die Lösung für a) inkl. der Null. Für b) ist deine Lösung nicht richtig.

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Nein wir haben bei dem Teil a schon bei x=0 einen Extrempunkt. Deswegen muss der Ausdruck der PQ Formel vor der Wurzel 0 sein und die Diskriminate nicht lösbar sein und das ist der Fall wenn a =0

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Da du entweder keine Graphen zeichnen kannst oder keine Graphen zeichnen willst hier die Graphen für ganzzahlige Werte von a im Intervall [-2 ; 2]. Alle diese Graphen haben nur einen Extrempunkt.

Answer 2

a)

Ein Extrempunkt hast du, wenn fa'(x) an einer Stelle eine einfache (genauer ungerade Vielfachheit) Nullstelle besitzt.

fa'(x) = x^3 + a·x^2 + x = x·(x^2 + a·x + 1) = 0

Die Diskriminante der quadratischen Lösung müsste also ≤ 0 sein!

(a/2)^2 - 1 ≤ 0 → -2 ≤ a ≤ 2 ; also z.B. a = 0

Lass dir also mal die Graphen für verschiedene ganzzahlige Werte von a zeichnen.

Answer 3

Gegeben sind die Funktionen f, mit \(fa(x) = \frac{1}{4} * x ^ 4 + \frac{a}{3} * x ^ 3 + \frac{1}{2} * x ^ 2\)

a) Bestimmen Sie einen Wert für a so, dass der Graph von fa genau einen Extrempunkt hat.

\(f´(x) =  x ^ 3 + a* x ^ 2 +x\)

\( x ^ 3 + a* x ^ 2 +x=0\)

\( x*( x^ 2 + a* x +1)=0\)

\( x_1=0\)

\(  x^ 2 + a* x +1=0\)

\(  x^ 2 + a* x =-1\)

\(  (x+ \frac{a}{2})^2  =-1+\frac{a^2}{4}\)

\(  x+ \frac{a}{2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}-1} \)

Ein Extrempunkt liegt vor , wenn die Wurzel 0 ist:

\( \frac{a^2}{4}-1 =0\)

\(a_1=2\)

\(a_2=-2\)