Gegeben sind die Funktionen f, mit \(fa(x) = \frac{1}{4} * x ^ 4 + \frac{a}{3} * x ^ 3 + \frac{1}{2} * x ^ 2\)
a) Bestimmen Sie einen Wert für a so, dass der Graph von fa genau einen Extrempunkt hat.
\(f´(x) = x ^ 3 + a* x ^ 2 +x\)
\( x ^ 3 + a* x ^ 2 +x=0\)
\( x*( x^ 2 + a* x +1)=0\)
\( x_1=0\)
\( x^ 2 + a* x +1=0\)
\( x^ 2 + a* x =-1\)
\( (x+ \frac{a}{2})^2 =-1+\frac{a^2}{4}\)
\( x+ \frac{a}{2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}-1} \)
Ein Extrempunkt liegt vor , wenn die Wurzel 0 ist:
\( \frac{a^2}{4}-1 =0\)
\(a_1=2\)
\(a_2=-2\)