Funktionsscharen mit ln-Funktionen

Question

Aufgabe:

Für jedes a > 0 ist eine Funktion f , gegeben durch f a( x ) = ax² (1 - In (x²/a)) und die zweite Ableitung durch fa ''( x ) = - 2a ( In(x²/a)+2)

- Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion an und bestimmen Sie die Nullstellen dieser Funktion . Weisen Sie nach , dass der Graph der Funktion f , achsensymmetrisch zur y - Achse ist . Ermitteln Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen der Funktion f , und untersuchen Sie die Art der Extrema .

Problem/Ansatz:

Hallo, ich bin gerade beim üben für meine Klausur nächste Woche auf diese Aufgabe gestoßen mit einige weiternen Aufgaben, die ich nicht wirklich weiß wie man das löst. Für die Definitionsbereich habe ich a>0 da man die null ja nicht in der ln einsetzen kann. Kann mir jm bitte die Schritte vielleicht zeigen, wie man nullstellen bei speziell ln funktionen + funktionsscharen lösen kann und wie man dann die Extrempunkte beweist und zeigt wo sie liegen.

Answer 1

Hallo

1.  a>0 ist gegeben, für das Def. Bereich suchst du die möglichen x. nicht a.

2. Nullstellen aus  Nullprodukt,  also ax^2=0 liegt nicht im Def. Bereich und (1 - In (x²/a))=0 ist einfach.

3. achsensym  f(x)=f(-x) nachrechnen

4. differenzieren mit Produktregel, danach f'=0  dann' f'' für die Art der Nullstellen

5. zur Kontrolle lass die f(x) plotten

Gruß lul

Answer 2

D:

x^2/a >0

x^2>0

|x| > 0  -> D = R\{0}

Nullstellen: Satz vom Nullprodukt

ax² =0

x^2 =0

x= 0 entfällt, weil nicht in D

1 - In (x²/a)) =0

ln(x^2/a)= 1

x^2/a = e^1 = e

x^2 = e/a

x = +-√(e/a)

Achsensymmetrie:

zu zeigen,dass f(x) = f(-x)

f(-x) = a*(-x)^2*(1-ln(x^2/a)) = ax^2*(1-ln(x^2/a))  q.e.d.

EXTREMA:

f '(x) =0

f '(x): Leite mit der Produkt-und Kettenregel ab

u= ax^2 -> u' = 2ax

v = ln(1-x^2/a) -> v' = 1/(1-x^2/a)* -2x/a

Bastle das zusammen.

....

Maximum: f ''(xE) <0

Minimum: f ''(xE) >0

xE = Extremstelle

Comments

 @ ggT22

x=0 ist keine Nst.

lul

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Stimmt, ich nahe D übersehen. Danke. :)

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Hallo, danke für die Antwort.

Aber warum ist die D: x>0 es müsste doch alle Reelle zahlen sein oder nicht? Bzw warum wir 0 ausgeschlossen 7ch habe das nicht wirklich verstanden

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Der ln ist für x<=0 nicht definiert in R.

ln0 bedeutet: e^x= 0

e^x kann nicht Null werden oder gar kleiner Null.

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x2/a = e1 = e

x2 = e/a

Bei diesem schritt muss man doch mal a rechnen weil es im Nenner steht . Bin mir nicht sicher wie sie das genau gemacht haben

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Ahhhh okayy danke danke habs jz verstanden~

Genau e^x kann gar nicht null werden

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Sorry für so viele Fragen, aber ich muss die verstehen, damit ich in der Arbeit nicht die selben fehler machen wie beim üben, warum hast du beim Symmetrie die 2. X nicht durch -x ersetzt? Gibt es da eine Regel oderso?

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Weil das gelten muss bei Achsensymmetrie.

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Ich habe als 1. Ableitung:

f'(x)= 1-(x²/a)*(ax²*(-2x/a)+2ax)

Ist das richtig?

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Hallo

Nein, es ist falsch. benutze 1. die Produktregel,( dann bleibt schon mal die Klammer mit dem ln stehen!   2. für den ln dann die Kettenregel. und schreib auf, wie du rechnest.

lul