Extrempunkte bestimmen?

Question

ich hab hier eine aufgabe von einer zentralen klausur aber ich diese Aufgabe nicht lösen könnt ihr mir bitte helfen:

f(x)=-0.5x^3+5x^2-14x+9

weisen sie rechnerich nach,dass der Graph von f die lokalen Extrempunkte T(2/-3) und H (14/3  /  47/27)<--Bruch

besitzt.

Answer 1

f(x) = - 0.5·x^3 + 5·x^2 - 14·x + 9

f'(x) = - 1.5·x^2 + 10·x - 14

Extrempunkte f'(x) = 0

- 1.5·x^2 + 10·x - 14 = 0
x = 14/3 ∨ x = 2

f(14/3) = 47/27 --> Hochpunkt

f(2) = -3 --> Tiefpunkt

Comments

mein problem ist wie kommst du auf x1=14/2 v x2=2

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Bitte löse die quadratische Gleichung

- 1.5·x² + 10·x - 14 = 0

Damit kommst du auf die gewünschten x-Werte.

Answer 2

f(x)=-0.5x³+5x²-14x+9

Zunächst prüfen, ob die Funktionswerte stimmen:

f ( 2 ) = - 4 + 20 - 28 + 9 = - 3 (korrekt)

f ( 14 / 3 ) = ... = 47 / 27 (auch korrekt)

Dann Ableitung bilden:

f ' ( x ) = - 1,5 x ² + 10 x - 14

Nun für x die x-Koordinaten der behaupteten Extremstellen einsetzen:

f ' ( 2 ) = - 6 + 20 - 14 = 0

=> An der Stelle x = 2 könnte eine Extremstelle vorliegen.
Prüfung mit zweiter Ableitung f ' ' ( x ) = - 3 x + 10 :

f ' ' ( 2 ) = - 3 * 2 + 10 =  4

f ' ' ( 2 ) > 0 => An der Stelle x = 2  liegt tatsächlich ein Extremum ( genauer: ein Minimum ) von f ( x ) vor.

 

Gleiche Prüfung für die andere behauptete Extremstelle:

f ' ( 14 / 3 ) = -1,5 * ( 14 / 3 ) ² + 10 * ( 14 / 3 ) - 14 = 0

=> An der Stelle x = 14 / 3  könnte eine Extremstelle vorliegen.
Prüfung mit zweiter Ableitung f ' ' ( x ) = - 3 x + 10 :

f ' ' ( 14 / 3 ) = -3 * ( 14 / 3 ) + 10 = - 4

f ' ' ( 2 ) < 0 => An der Stelle x = 14 / 3 liegt tatsächlich ein Extremum ( genauer: ein Maximum ) von f ( x ) vor.