Determinante mit Sinus und Kosinus vereinfachen

Question

Die Zwischenrechnung einer Aufgabe verlangt, dass folgende Determinante zu berechnen ist:

\( \operatorname{det}\left|\begin{array}{cc}\sin (t) & \cos (t) \\ t^{*} \cos (t) & \cos (t)-t^{*} \sin (t)\end{array}\right| \)

Als Ergebnis bekomme ich heraus:

sin(t) * cos(t) - t*sin(t) - cost(t)*t*cos(t)

Wie lässt sich dieses Ergebnis vereinfachen? Die Zwischenlösung der Aufgabe nennt das Ergebnis:

sin(t)*cos(t)-t

Answer 1

Achte auf die Klammerung!

Richtig ist:

det = sin ( t ) * ( cos ( t )  - t * sin ( t ) ) - cost ( t ) * t * cos ( t )

Klammer ausmultiplizieren:

= sin ( t ) * cos ( t ) - sin ( t ) *  t * sin ( t ) ) - cos ( t ) * t *cos ( t )

t ausklammern:

= sin ( t ) * cos ( t ) - t ( sin ² ( t ) + cos ² ( t ) )

Es gilt: sin ² ( t ) + cos ² ( t ) = 1 ("trigonometrischer Pythagoras"), also:

= sin ( t ) * cos( t ) - t