Exponentialverteilung und normalverteile Zufallsvariablen

Question

Aufgabe:

Seien E₁ bzw. E₂ exponential-verteilte Zufallsvariablen mit λ = 1 bzw. λ = 2. Ferner sei X₀ eine standardnormalverteilte Zufallsvariable und X₁ bzw. X₂ normalverteilte Zufallsvariablen mit µ₁ = 1, σ₁ = 0,5 bzw. µ₂ = 2, σ₂ = 1.

Tragen Sie in der folgenden Tabelle ein, ob der linke Ausdruck <, = oder > dem rechten Ausdruck ist.

P(E₁ ∈ [0, 1]) <, = oder > P(E₂ ∈ [0, 1])

P(E₁ = 2) <, = oder > P(E₂ = 2)

E(E₁) <, = oder > E(E₂)

P(X₀ ∈ [0, 2]) <, = oder > P(X₁ ∈ [0, 2])

Problem/Ansatz:

Dann sind da noch andere Werte, aber wenn ich die obigen kann, sollte der Rest (hoffentlich) ein Kinderspiel werden. Wie gehe ich hier am besten vor? Ich weiß, wie man Erwartungswerte berechnet, aber soweit ich weiß, braucht man da von ner Stichprobe paar Werte (x_k). Außerdem verwirrt mich λ. Normalerweise würde ich nur mit µ und σ arbeiten wollen, aber das wäre dann in die komplett falsche Richtung.

Comments

Du solltest Indices tiefstellen. Wenn beispielsweise nur steht σ2 dann kann das entweder eine Varianz σ² sein oder eine Standardabweichung σ₂. Ich habe es korrigiert.

Außerdem verwirrt mich λ. Normalerweise würde ich nur mit µ und σ arbeiten wollen

Eine Normalverteilung hat µ und σ und eine Exponentialverteilung hat 1 / λ für Erwartungswert und Standardabweichung.

Answer 1

erste Zeile:

\(\displaystyle \int \limits_{0}^{1} 1 e^{-x} \; d x=\frac{e-1}{e} \approx 0,63 \quad < \quad \int \limits_{0}^{1} 2 e^{-2 x} \; d x=1-\frac{1}{e^{2}} \approx 0,86 \)

zweite Zeile:

\( 0 = 0 \)

Comments

Warum 0 = 0?

P(E₁ = 2) ist doch: 1 * e^-1*2

Und P (E₂ = 2) ist doch: 2 * e^-2*2

---

Es sind stetige Verteilungen. Wahrscheinlichkeitsdichte ist nicht dasselbe wie Wahrscheinlichkeit.

\(\displaystyle \int \limits_{2}^{2} 1 e^{-1 x} \; d x=0 \)