Lösen eines LGS mit Austauschverfahren?

Question

Hallo zusammen,

da ich sonst im Netz nicht wirklich was brauchbares gefunden habe, versuche ich es mal hier..

wir sollen im Studium LGS lösen mithilfe des Austauschverfahrens..(und nur mit diesem!)

Bei vollständig spezifizierten LGS hab ich keine Probleme damit, nun bin ich auf eine Aufgabe gestoßen:

x1 + 2x2 − x3 = 1
x1 − 2x2 + x3 = 3

Normalerweise würde man ja hingehen und alle Variablen tauschen.. Wie ist es hier?

Liebe grüße

Comments

Diese Frage wurde bereits in einem Board gestellt, welches sich mit Mathe beschäftigt.

Manche nennen das auch "Crossposting" (und tolerieren es nicht).

Answer 1

Addiere die Gleichungen:

2x1=4

x1= 2

Setze dann 2 ein und mach dasselbe erneut.

Was fällt dir auf?

Answer 2

Durch Addition erhält man 2x₁=4 und folglich x₁=2.

Setzt man x₁=2 in beide Gleichungen ein und löst diese nach x₃ auf, so ist in beiden Fällen x₃=2x₂-1. Also ist x₂ frei wählbar. Lösung: x₁=2, x₂=frei wählbar, x₃=2x₂-1.

Answer 3

wir sollen im Studium LGS lösen mithilfe des Austauschverfahrens..(und nur mit diesem!)

Interessant, dass das Substitutionsverfahren mal bei seinem deutschen Namen genannt wird.

Ich schreibe deine Gleichungen mal mit x, y und z auf

x + 2y − z = 1
x − 2y + z = 3

Das Substitutionsverfahren besagt das man eine Gleichung zu einer Unbekannten auflösen soll. Wie lösen die 1. Gleichung also mal nach x auf

x + 2y − z = 1 --> x = - 2·y + z + 1

Jetzt wird in der 2. Gleichung das x durch den gefundenen Ausdruck getauscht.

x - 2y + z = 3
(- 2·y + z + 1) - 2y + z = 3
- 4·y + 2·z + 1 = 3

Wir haben alle Gleichungen benutzt und haben jetzt noch ein Freiheitsgrad. Wir wählen z = t und lösen die letzte Gleichung nach y auf

- 4·y + 2·z + 1 = 3
- 4·y + 2·(t) + 1 = 3 --> y = 0.5·t - 0.5

Nun nimmt man die nach x aufgelöste Gleichung und ersetzt hier y und z

x = - 2·y + z + 1
x = - 2·(0.5·t - 0.5) + (t) + 1 
x = 2

Damit hat man das Gleichungssystem gelöst und es gilt

x = 2
y = 0.5·t - 0.5
z = t