Question

Weiß jemand, wie ich zu diesen Höhenlinien folgendes berechnen kann? :

grad f(1, 1) = (4.8, 1.4) oder (2.2, −3.8) oder (−3.2, −1.2)

grad f(−1, 0) = (3, 1) oder (2, −3) oder (−4, −2)

∂ /(∂x) f(1, −1) = 1.4 oder -0.2 oder −3.2

∂ /(∂y) f(0, 0) = −3 oder 0 oder 1

Ich brauche eine Erklärung, wie ich auf die Lösungen kommen kann, da ich diesen Weg leider vergessen habe. Also nicht einfach die Lösung (zumal ich sie sowieso schon habe).

grad ging folgendermaßen, wenn ich mich recht erinnere: "Der Gradient zeigt dahin, wo der steilste Anstieg ist".

Also müsste er bei grad f(1, 1) links unten in die Ecke des Bildes zeigen (also Richtung -2, -2 als Visualisierung). Da beide Punkte negativ sind, kommt folglich nur (−3.2, −1.2) in Betracht. So wäre meine Erklärung zumindest.

Partielle Ableitung (nach x an der Stelle 1, -1) war, dass man eine gerade "Linie" in x-Richtung zeichnet. Man geht also in die x-Richtung und danach weiß ich nicht mehr weiter. Ich hätte es vermutet, dass man sich einfach anschaut, was in der x-Richtung auf einen zukommt (wäre hier eine immer größere negative Zahl) und wäre mit dieser Begründung bei -3.2, was dann auch richtig wäre, allerdings MUSS die Begründung falsch sein, da beim letzten eine -3 herauskommt.

Wenn ich da in y-Richtung hochgehe, kommt doch nichts Negatives, nicht mal die Steigung ist negativ...

Answer 1

Deine Überlegungen sind doch alle vernünftig.

grad f(1,1): Offensichtlich ist der steilste Anstieg irgendwo nach links, also x<0, also (-3.2,-1.2).

grad f(-1,0): ... rechts unten, also (2,-3).

partielle Ableitung hast ja selbst schon erklärt. In (0,0) werden gerade nach oben die Höhen kleiner (von ca. 1 auf ca. 0), also -3.

Comments

Ja, okay. Sicher bin ich mir dennoch nicht.

Irgendwas gefällt mir nicht so ganz..

Was wäre z.B. wenn bei der partiellen Ableitung zwei negative zur Auswahl stünden?

Und "wie weit" muss man denn gerade nach oben?

Eine "Ebene" höher bin ich von ca. 1 auf ca. 0 (wie du es ja auch gesagt hast).
Noch mehr "Ebenen" höher bin ich von ca. 0 auf ca. 1 auf ca. 2 auf ca. 3. Da wird es wieder positiv..

---

Höhenlinien geben ja nur ein grobe Information, da wird von Dir nicht erwartet, dass Du da supergenaue Zahlen abliest. Geh mal davon aus, dass die Auswahlmöglichkeiten entsprechend gestaltet sind.

Ableitungen sind momentane Steigungen in einem Punkt. Man geht also "0 nach oben", was der Grenzwert von "h nach oben für h->0" ist. Das geht im Höhenlinienbild natürlich nicht, das Raster ist ja nur grob. Daher geht man nur bis zur nächsten Höhenlinie (kürzer sieht man ja nichts, weil keine Linie da ist, und länger wäre zu weit weg von "0 nach oben"). Auch da geh davon aus, dass die Auswahlmöglichkeiten vernünftig vorgegeben sind.

Es geht in der Aufgabe nicht darum Zahlenwerte abzulesen, sondern nur Dein Verständnis der Begriffe und des Höhenlinienplots zu prüfen. Das scheinst Du zu haben, also kein Grund zur Beunruhigung.

---

Ok, vielen Dank für die Antwort und Hilfe!!