Differenzierbarkeit Produkt an einer Stelle

Question

Da mir gerade so super geholfen wurde, anhabe ich noch eine Übungsaufgaben zum Thema Differenzierbarkeit, wo ich nicht weiterkomme.

Prüfen Sie, ob die Funktion \( f(x)=x \cdot|x-1| \)
a) an der Stelle \( x=0 \)
b) an der Stelle \( x=1 \) differenzierbar ist.

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=x\cdot|x-1|=\left\{\begin{array}{rl}x(x-1) & \text{für }x\ge1\\-x(x-1) & \text{für }x<1\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{rl}x^2-x & \text{für }x\ge1\\-x^2+x & \text{für }x<1\end{array}\right.$$Für die Differenzierbarkeit bei \(x=0\) ist nur das untere Polynom relevant. Da Polynome über ganz \(\mathbb R\) differenzierbar sind, ist auch \(f(x)\) an der Stelle \(0\) differenzierbar.

Die Differenzierbarkeit bei \(x=1\) untersuchen wir mittels dem links- und rechtsseitigen Grenzwert des Differenzenquotienten:

$$\lim\limits_{x\nearrow1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\nearrow1}\frac{-x(x-1)-0}{x-1}=\lim\limits_{x\nearrow1}(-x)=-1$$$$\lim\limits_{x\searrow1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\searrow1}\frac{x(x-1)-0}{x-1}=\lim\limits_{x\searrow1}(x)=1$$

Die beiden Grenzwerte sind unterschiedlich, daher ist \(f(x)\) bei \(x=1\) nicht differenzierbar.

Comments

Mega, vielen lieben Dank :-)

Answer 2

Das ist die Funktion

und das ist die erste Ableitung:

Answer 3

a) x=0 bedeutet f(x)=x und f '(x)=1 und folglich f'(1)=1.

b) x=1. Der Graph von f(x):

An der Stelle 1 existieren zwei Ableitungen.

Comments

Auch hier muss ich wieder den links und rechtsseitigen Grenzwert rechnerisch bilden.

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An der Stelle 1 existieren zwei Ableitungen.

An der Stelle 0 auch.

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Ja, die erste und die zweite Ableitung.

(Über die dritte verrate ich nichts.)

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Ich hätte mir meinen Kommentar zu Rs Antwort erspart, hätte er das, was er (vermutlich) gemeint hat, nämlich dass an der Stelle 1 zwei Ableitungen, nämlich die linksseitige und die rechtsseitige mit unterschiedlichen Werten existieren, auch geschrieben. Eine linksseitige und eine rechtsseitige existieren ja auch an der Stelle 0.

Alternativ hätte R auch korrekt schreiben können "An der Stelle 1 existiert keine Ableitung".