Bestimme den Grenzwert. Zentraler Grenzwertsatz

Question

Aufgabe:

Bestimme den Grenzwert für n -> unendlich für

wobei p_n=p/sqrt(n) ist und einmal für p_n=p/n.

Text erkannt:

\( \frac{n\left(p_{n}^{3} q_{n}+p_{n} q_{n}^{3}\right)}{\left(n p_{n} q_{n}\right)^{3 / 2}} \)

Problem/Ansatz:

Meine Idee war es die terme so umzuformen, dass ich im zähler und im nenner das n kürzen kann. Setze ich aber n gegen unendlich ein, so bekomme ich einen Ausdruck der Form 0/0 was nicht definiert ist. kann mir da bitte jemand helfen?

Comments

Kürze zunächst mit \(\displaystyle np_nq_n\colon\varrho_n=\frac{p_n^2+q_n^2}{\sqrt{np_nq_n}}\).
Ersetze nun \(q_n\) durch \(\displaystyle 1-p_n\colon\varrho_n=\frac{p_n^2+(1-p_n)^2}{\sqrt{np_n(1-p_n)}}\).
Ersetze nun \(p_n\) durch \(\displaystyle\tfrac pn\colon\varrho_n=\frac{\big(\tfrac pn\big)^2+\big(1-\tfrac pn\big)^2}{\sqrt{p\big(1-\tfrac pn\big)}}\).
Mit \(n\to\infty\) geht der Zähler offenbar gegen \(1\), während der Nenner gegen \(\sqrt p\) geht.
Damit ist \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\varrho_n=\frac1{\sqrt p}\).

Wird dagegen im dritten Schritt \(p_n\) durch \(\frac p{\sqrt n}\) ersetzt, dann zeigt eine analoge Rechnung, dass \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\varrho_n=0\) ist.

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Danke, das hat mir geholfen :)

Answer 1

Es kann nicht sein das einmal

$$p_n = \frac{p}{\sqrt{n}}$$

und ein andermal

$$p_n = \frac{p}{n}$$

gilt. Bitte stelle die komplette Aufgabe exakt so wie sie dir vorliegt ohne Sachen zu verändern.

Comments

Hallo, es geht um den Zentralen Grenzwertsatz und wie die Konvergenzgeschwindigkeit von p_n entscheidend ist, ob die Voraussetzung eben erfüllt ist oder nicht. Hier der ganze Text:

Text erkannt:

- Die Bedingung \( \varrho_{n} \rightarrow 0 \) soll sicherstellen, daß die beteiligten Zufallsvariablen von vergleichbarer Größenordnung sind. Betrachten wir dazu ein Beispiel: Sind \( Y_{1}^{n}, \ldots, Y_{n}^{n} \) unabhängig und zum Parameter \( p_{n} \) Bernoulliverteilt, dh. mit \( q_{n}= \) \( 1-p_{n} \) gilt
\( P\left(Y_{i}^{n}=1\right)=p_{n} \text { und } P\left(Y_{i}^{n}=0\right)=q_{n}, \)
so ist \( \mathbb{E} Y_{i}^{n}=p_{n} \), Var \( Y_{i}^{n}=p_{n} q_{n} \). \( S_{n} \) ist zu den Parametern \( n \) und \( p_{n} \) binomialverteilt und \( \operatorname{Var} S_{n}=n p_{n} q_{n} \). Außerdem ist
\( \gamma_{i}^{n}=\mathbb{E}\left|Y_{i}^{n}-p_{n}\right|^{3}=p_{n}^{3} q_{n}+p_{n} q_{n}^{3} . \)
Folglich ist
\( \varrho_{n}=\frac{n\left(p_{n}^{3} q_{n}+p_{n} q_{n}^{3}\right)}{\left(n p_{n} q_{n}\right)^{3 / 2}} . \)
Konvergiert \( p_{n} \) langsam gegen 0 , etwa \( p_{n}=p / \sqrt{n} \), so gilt \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \varrho_{n}=0 \) und die Voraussetzungen des zentralen Grenzwertsatzes sind erfüllt, konvergiert \( p_{n} \) schnell gegen 0 , etwa \( p_{n}=p / n \), so gilt \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \varrho_{n}=\frac{1}{\sqrt{p}} \) und der zentrale Grenzwertsatz gilt nicht (in diesem Fall strebt die Verteilung von \( S_{n} \) nach Satz 4.1 gegen die Poisson-Verteilung !).