Newtonverfahren mit Startwert

Question

Aufgabe 2 Newtonverfahren: Was passiert, wenn man das Newtonverfahren auf die Funktion
\( f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} \)
anwendet und dabei den Startwert
a) \( x_{0}=0 \) verwendet?
b) \( x_{0}=1 \) verwendet?

Guten Morgen, ich habe Probleme bei dieser Aufgabe. Das Verfahren ist mir bekannt jedoch, finde ich diese Aufgabe komisch. Ich bilde hier ja die Anleitung und setzte dann für x 0 und 1 ein.

Wäre das so richtig?

Comments

Das Verfahren ist mir bekannt jedoch, finde ich diese Aufgabe komisch.

Die Aufgabe ist nicht komisch, sie ist lehrreich. Das funktioniert aber nur dann, wenn Du es auch selber tust! Beginne mit \(x_0=1\) und führe mindestens drei Schritte mit dem Newtonverfahren durch ... Du wirst schon sehen ;.)

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Das "Newtonverfahren" dient zum näherungsweisen Bestimmen von Nullstellen einer vorliegenden Funktion.

Welchen Zweck soll es haben, es auf eine Funktion anzuwenden, deren einzige Nullstelle schon von Weitem ersichtlich ist und keinerlei Näherungsverfahren erfordert ?

Man könnte auch etwa fragen:  Warum sollte man einem Glatzköpfigen einen Haarschnitt empfehlen ?

(naja, vielleicht um dann nachträglich zu erkennen, dass das Vorhaben sinnlos war ...)

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Zur Illustration ein Bild:

https://www.desmos.com/calculator/lzoyyyyjsa

:-)

Answer 1

Setze in den Term

        \(x - \frac{f(x)}{f'(x)}\)

für \(x\) den Wert 0 ein.

Setze in den Term

      \(x - \frac{f(x)}{f'(x)}\)

für \(x\) den Wert 1 ein. Setze das Ergebnis für \(x\) in den Term

      \(x - \frac{f(x)}{f'(x)}\)

ein.

Comments

Also das ganz normale Vorgehen Danke :-)

Answer 2

f(x) = x/√(x^2 + 1)
f'(x) = 1/(x^2 + 1)^(3/2)

x_neu = x - f(x)/f'(x) = x - (x/√(x^2 + 1))/(1/(x^2 + 1)^(3/2)) = - x^3

Jetzt kann man nach der Vereinfachung schon sehen, was passiert, wenn man 0 oder 1 in - x^3 einsetzt.

Comments

Nun ja, das Konvergenz- bzw. Divergenzverhalten der entstehenden Newton-Iterationsfolge, in Abhängigkeit vom gewählten Startwert x₀ (dabei würde ich auch andere Werte als 0 und 1 vorschlagen), ist ja schon recht interessant. So gesehen ist die "Aufgabe" natürlich ganz hübsch konstruiert.