Folgende Aufleitung nicht so gut verstanden

Question

Warum ist die Ableitung von

$$ \frac{y}{(c+xy)^2} =- \frac{1}{c+xy} $$

und nicht

$$ \frac{y}{(c+xy)^2} =- \frac{y}{c+xy} $$

Die Integration von 1/ x² ist doch -1 / x.

Der Zähler bleibt gleich und der Nenner ist nicht mehr im Quadrat.

Beim obigen ändert sich aber der Zähler zu einer 1! Nenner ist nicht mehr im Quadrat und vor dem Bruch kommt ein Minuszeichen, das passt soweit, aber die 1 im Zähler nicht so. Was ist der Grund dafür??

Comments

Soll oben heißen

"Warum ist die Integration von" und nicht Ableitung

Answer 1

Aloha :)

Der Zähler \(y\) ist die Ableitung von \((c+xy)\), daher bietet sich folgende Substitution an:$$\green{u(x)\coloneqq c+xy}\implies\frac{du}{dx}=y\implies\pink{du=y\,dx}$$Damit erhalten wir das Integral$$\int\frac{\pink y}{\green{(c+xy)}^2}\,\pink{dx}=\int\frac{1}{\green u^2}\,\pink{du}=-\frac{1}{\green u}+C=-\frac{1}{\green{c+xy}}+C$$

Comments

Der Zähler y ist die Ableitung von (c+xy)

Wieso das?
Wie kommst du darauf?

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Der Zähler ist die Ableitung des Terms in Klammern, nicht die Ableitung des Quadrates. Wenn die Ableitung eines Terms als Faktor im Integranden auftaucht, kann man diesen Term sehr oft substituieren, um ein deutlich einfacheres Integral zu erhalten.

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Also, u wurde ja mit c+xy substituiert, soweit so gut.

Aber wieso sagt man dann du/dx = y. Wie kommt man darauf, was löst man nach was auf, um darauf zu kommen?

dx ist ja klar, war in der ursprünglichen Aufgabe drinne

du kommst aufgrund der Substitution hinzu. Keine Ahnung aber wieso geteilt durch du

y gar keine Ahnung

Answer 2

Ich glaube, du hast die innere Ableitung vergessen.

(Ganz zu schweigen davon, dass du nicht erwähnt hast, ob nach x oder nach y ableitest bzw. integriert.

Womit wir bei der eigentlichen Frage sind: Willst du ableiten oder integrieren? (Benutze in ernsthaften Mathematikerkreisen nie das Unwort "aufleiten").

Comments

Ach ja, sorry. Passiert mir leider immer wieder, die "Aufleitung" bzw. Integration davon. Und nicht die Ableitung.

Werde versuchen, letzteres zu sagen :)

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Als Fachbegriff bietet sich an: "F(x) ist eine Stammfunktion von f(x)".

:-)