Untersuchen Sie die Matrizen auf die in der Tabelle gefragten Eigenschaften

Question

Untersuchen Sie die Matrizen \( A, B, C \) auf die in der Tabelle gefragten Eigenschaften. Tragen Sie in die offenen Felder ein \( \mathbf{J} \) ein, wenn die Matrix die entsprechende Eigenschaft hat, sonst ein N. Richtige Antworten bringen einen halben Punkt, falsche bedeuten einen halben Punkt Abzug. Um Letzteres zu vermeiden, kann man Felder auch offen lassen.

\( A=\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4\end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right) \quad C=\left(\begin{array}{cccc}0.8 & 0 & 0 & 0.6 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0.6 & 0 & 0 & 0.8\end{array}\right) \)

Eigenschaft	Matrix A	Matrix B	Matrix C
diagonalisierbar	\( \mathbf{J} \)
isometrisch	\( \mathbf{N} \)
invertierbar	\( \mathbf{N} \)
hat einen Eigenwert \( \neq 0 \)			J

Kann mir jemand die einzelnen Schritte zeigen, warum Matrix A un B diagonolisierbar sind und warum sie einen Eigenwert =/0 haben.

Answer 1

Die Matrix \(A\) hat einen von Null verschiedenen Eigenwert, denn es ist$$\begin{pmatrix}1&1&1&1\\2&2&2&2\\3&3&3&3\\4&4&4&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\20\\30\\40\end{pmatrix}=10\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}.$$Die Matrix \(B\) ist eine obere Dreiecksmatrix. Die Elemente auf der Hauptdiagonalen sind die Eigenwerte. Da diese paarweise verschieden sind, ist \(B\) diagonalisierbar. Offensichtlich hat \(B\) einen von Null verschiedenen Eigenwert.

Die Matrix \(C\) ist reell und symmetrisch, d.h es ist \(C=C^\text T\). Daher ist \(C\) diagonalisierbar.

Comments

Vielen Dank, und warum ist die Matrix {{0,1,0},{0,0,1},{1,0,0}} diagonilisierbar? Was wäre deine Begründung?

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Das charakteristische Polynom dieser Matrix zerfällt über \(\mathbb R\) nicht in Linearfaktoren, ist also nicht diagonalisierbar.

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Wie kann ich bei Matrix C diesen Trick anwenden?