Aloha :)
Die Abbildungsmatrix \({_S}F_S\) bezüglich der kanonischen Standardbasis \(S\) erhältst du so:$$l f(x;y;z)=\begin{pmatrix}x-y+z\\-6y+12z\\-2x+2y-2z\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}-1\\-6\\2\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1\\12\\-2\end{pmatrix}$$$$\phantom{f(x;y;z)}=\underbrace{\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1\\0 & -6 & 12\\-2 & 2 & -2\end{array}\right)}_{\eqqcolon {_S}F_S}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$
Die Abbildungsmatrix \({_B}F_B\) bezüglich der Basis$$B=\left(\begin{pmatrix}-1\\0\\-1\end{pmatrix};\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix};\begin{pmatrix}-2\\0\\4\end{pmatrix}\right)$$kannst du aus \({_S}F_S\) bestimmen. Dazu musst du die Eingangsvektoren von der Basis \(B\) in die Standardbasis \(S\) konvertieren, die Matrix \({_S}F_S\) darauf wirken lassen und schließlich das Ergebnis wieder von \(S\) in die Basis \(B\) transformieren:$${_B}F_B={_B}\text{id}_S\cdot{_S}F_S\cdot{_S}\text{id}_B$$
Die Basiswechselmatrix \({_S}\text{id}_B\) kennst du bereits. Bei der Definition der Basisvektoren aus \(B\) müssen sich die Komponenten der neuen Basisvektoren ja auf eine bestehende Basis beziehen. Das kann aber nur die Standardbasis \(S\) sein, da ja zum Zeitpunkt der Definition von \(B\) keine andere Basis definiert ist. Daher ist:$${_S}\text{id}_B=\left(\begin{array}{rrr}-1 & -1 & -2\\0 & 2 & 0\\-1 & 1 & 4\end{array}\right)\quad;\quad {_B}\text{id}_S=\left({_S}\text{id}_B\right)^{-1}=\frac16\left(\begin{array}{rrr}-4 & -1 & -2\\0 & 3 & 0\\-1 & -1 & 1\end{array}\right)$$
Damit erhalten wir als Abbildungsmatrix bezüglich der Basis \(B\):$${_B}F_B=\left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & -8\\-6 & 0 & 24\\3 & 1 & -9\end{array}\right)$$
Die Matrix \({_S}F_S\) hat die 3 Eigenwerte \(\lambda_1=-9\), \(\lambda_2=2\) und \(\lambda_3=0\).
Die zugehörigen Eigenvektoren sind: \(\vec v_1=\begin{pmatrix}-1\\-8\\2\end{pmatrix}\), \(\vec v_2=\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec v_3=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\)
Wenn du nun die Eigenvektoren in eine neue Basis \(D\) (für Diagonal) schreibst und die Abbildungsmatrix \({_S}F_S\) wie oben beschrieben, in diese neue Basisdarstellung tranformierst, erhältst du eine Diagonalmatrix:
$$\underbrace{{_S}\text{id}_D}_{T}=\left(\begin{array}{rrr}-1 & -1 & 1\\-8 & 3 & 2\\2 & 2 & 1\end{array}\right)$$$$\underbrace{{_D}F_D}_{D}={_D}\text{id}_S\cdot{_S}F_S\cdot{_S}\text{id}_D=\underbrace{\left({_S}\text{id}_D\right)^{-1}}_{T^{-1}}\cdot\underbrace{{_S}F_S}_{A}\cdot\underbrace{{_S}\text{id}_D}_{T}=\left(\begin{array}{rrr}-9 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)$$
Die Bezeichnungen in der Aufgabenstellung weichen etwas von meinen ab, weil ich das Prinzip deutlich machen wollte. Ich habe dir im Ergebnis die anderen Bezeichnungen drunter geschrieben.
