Warum ist det (A-λE) = 0

Question

Warum ist die Determinante einer Matrix bei der man auf der Hauptdiagonalen einen Eigenwert abzieht gleich Null?

det (A-λΕ) = 0 (mit λ als Eigenwert und E als Einheitsmatrix)

Ich versuche die lineare Algebra zu verstehen und nicht nur Definitionen auswendig zu lernen, kann mir deshalb jemand verraten was da der logische Zusammenhang oder Hintergrund ist?

Answer 1

Aloha :)

Die Eigenwertgleichung lautet:$$\mathbf A\cdot\vec x=\lambda\cdot\vec x\quad;\quad \vec x\ne\vec0$$

Diese Gleichung kannst du umformen:$$\mathbf A\cdot\vec x=\lambda\cdot\mathbf 1\cdot\vec x\quad\Longleftrightarrow\quad\mathbf A\cdot\vec x-\lambda\cdot\mathbf 1\cdot\vec x=\vec 0\quad\Longleftrightarrow\quad \left(\mathbf A-\lambda\cdot\mathbf 1\right)\cdot\vec x=\vec 0$$

Da die triviale Lösung \(\vec x=\vec 0\) bei der Eigenwertgleichung ausgeschlossen ist, muss das Gleichungssystem mehr als eine, also unendlich viele Lösungen haben. Daher muss die Determinante der Koeffizientenmatrix gleich Null sein:$$\operatorname{det}(\mathbf A-\lambda\cdot\mathbf 1)=0$$

Comments

Vielen Dank!

Answer 2

So ist der Eigenwert definiert.

Comments

Tut mir Leid, abakus, aber da bin ich anderer Meinung.
Das Verchwinden der Determinante ist erst eine
nachgeordnete Folgerung aus der Definition von Eigenwerten.

Answer 3

Hallo,

der "Hintergrund" ist, dass für \( A \in \mathbb{R}^{n \times n}, \, v\in\mathbb{R}^n\setminus\lbrace{0\rbrace}  \) und \(\lambda\in\mathbb{R} \) gilt:

\( A \cdot v = \lambda \cdot v \Leftrightarrow A \cdot v - \lambda \cdot v = 0 \Leftrightarrow (A - \lambda \cdot E) \cdot v = 0 \). So ein \(v\) existiert genau dann wenn \(\det(A-\lambda \cdot E) = 0\)

und \(Av = \lambda v\) ist ja gerade die Gleichung, die ein Eigenvektor zum Eigenwert \( \lambda \) erfüllen soll.