relativen Extremstellen der Funktion F.

Question

Aufgabe:

Kann mir jemand sagen, wie ich diese Aufgabe löse?

Gegeben die Funktion f mit

F( x , y )= ( 4x + 2 y + 16 ) ² + ( - 4x + 2 y - 32 ) ² 

Bestimmen Sie saemtliche relativen Extremstellen der Funktion F. Bestimmen Sie damit die ganzen Zahlen a, b, c und d, fuer die gilt: Die funktion F nimmt im punkt P=( a , b ) ein relatives Minimum an, c = Fxx( a , b ) und
d= Fxx ( a , b ) . Fyy ( a , b ) - ( Fxy ( a , b ))²

Problem/Ansatz

Also die Abteilung nach x ist
2(4x+2y+16)*4 + 2(-4x+2y-32)*(-4)

Ableitung nach y:

2*(4x+2y+16)*2 + 2(-4x+2y-32)*2;

Aber wie berechne ich c = Fxx( a , b ) und d= Fxx ( a , b ) . Fyy ( a , b ) - ( Fxy ( a , b ))²

Answer 1

Aloha :)

Ich empfehle, die Funktion zuerst umzuformen:$$f(x;y)=(4x+2y+16)^2+(-4x+2y-32)^2$$$$\phantom{f(x;y)}=(16x^2+4y^2+256+16xy+128x+64y)+$$$$\phantom{f(x;y)}+(16x^2+4y^2+1024-16xy+256x-128y)$$$$\phantom{f(x;y)}=32x^2+8y^2+1280+384x-64y$$$$\phantom{f(x;y)}=(32x^2+384x+1152)+(8y^2-64y+128)$$$$\phantom{f(x;y)}=32(x^2+12x+36)+8(y^2-8y+16)$$$$\phantom{f(x;y)}=32(x+6)^2+8(y-4)^2$$

Kandidaten für Extremstellen sind die Nullstellen des Gradienten:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{64(x+6)}{16(y-4)}\implies\pink{P(-6|4)}$$Da es nur einen Kandidaten gibt, muss dieser das Minimum \(P\) sein.

Wir lesen aus dem Gradienten noch die zweiten partiellen Ableitungen ab:$$F_{xx}(x;y)=64\quad;\quad F_{xy}(x;y)=F_{yx}(x;y)=0\quad;\quad F_{yy}(x;y)=16$$

Wie haben alles berechnet, was du brauchst, um die Kleinbuchstaben zu bestimmen. Ich blicke da nicht ganz durch, \(c\) und \(d\) sind dasselbe? Daher überlasse ich das Bestimmen der Kleinbuchstaben gerne dir ;)

Comments

c und d sind die Hauptminoren.

c = 64

d = 64·16 - 0·0 = 1024

Damit ist die Matrix positiv definit. Damit handelt es sich um ein Minimum.

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Die Eigenwerte der Hessematrix sind 64 und 16, sieht man sofort. Daher frage ich mich, was der Leerer mit den Hauptminoren will. Aber er wird sich schon was dabei gedacht haben, oder auch nicht.

Answer 2

wie berechne ich c = Fxx( a , b )

Fx nach x ableiten und dann x=a und y=b einsetzen.