Das ist eine unsauber aufgeschriebene Induktion, weil Ind. Vor. und Ind. Beh. fehlen (was keinesfalls lästige Deko wäre, sondern beim Verständnis hilft).
In der Ind. Beh. wird überall dort, wo in der Ind. Vor. "n" steht, jetzt "n+1" geschrieben. Daher wird aus der Summe bis 2n eben Summe bis 2(n+1) (ersetzen!), also bis 2n+2.
Vorher bis 2n, nun bis 2n+2. also kommen zwei Summanden dazu, der für k=2n+1 und der für k=2n+2.