Vollständige Induktion Summe mit 2n

Question

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B 16: \( \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\ldots+\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{2 n} \quad \) (für alle \( n \geq 1 \) ) bzw. \( \quad \sum \limits_{k=1}^{2 n}(-1)^{k-1} \cdot \frac{1}{k}=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} \)
Induktionsanfang: \( \mathrm{n}=1: \) linke Seite: \( \quad \frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \) rechte Seite: \( \frac{1}{1+2}=\frac{1}{2} \)
Induktionsschluss:
\( \begin{array}{l} \sum \limits_{k=1}^{2(n+1)}(-1)^{k-1} \cdot \frac{1}{k}=\sum \limits_{k=1}^{2 n}(-1)^{k-1} \cdot \frac{1}{k}+\frac{1}{2 n+1}-\frac{1}{2 n+2}=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}+\frac{1}{2 n+1}-\frac{1}{2 n+2} \\ =\sum \limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{n+k}-\frac{1}{2 n+1}+\frac{1}{2 n+1}-\frac{1}{2 n+2}=\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1}{n+k+1}-\frac{1}{2 n+2} \\ =\sum \limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{n+1+k}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+1+n+1}-\frac{1}{2 n+2}=\sum \limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{(n+1)+k}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2(n+1)}-\frac{1}{2(n+1)} \\ =\sum \limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{(n+1)+k} \quad \text { q.e.d. } \end{array} \)

Hi zusammen, in der oben stehenden Aufgabe stehe ich etwas auf dem Schlauch, weil ich bisher nur Summen bis n behandelt habe aber nicht 2n.

Ich ging davon aus, dass man im IS 1/(n+k) + (-1)^(n+1-1) *1/(n+1) schreibt.

Außerdem, woher kommt das Minus bei 1/(2n+2).

Denkanstöße sind herzlich willkommen, ich danke schon im voraus.

Aufgabe:

…

Problem/Ansatz:

Answer 1

Das ist eine unsauber aufgeschriebene Induktion, weil Ind. Vor. und Ind. Beh. fehlen (was keinesfalls lästige Deko wäre, sondern beim Verständnis hilft).

In der Ind. Beh. wird überall dort, wo in der Ind. Vor. "n" steht, jetzt "n+1" geschrieben. Daher wird aus der Summe bis 2n eben Summe bis 2(n+1) (ersetzen!), also bis 2n+2.

Vorher bis 2n, nun bis 2n+2. also kommen zwei Summanden dazu, der für k=2n+1 und der für k=2n+2.

Comments

Danke erstmal für die Antwort

Müsste aber dann nicht auch(- 1)^k-1 *1/k relevant sein? Soweit ich das bis jetzt gerechnet habe, wird hier für k=n+1 eingesetzt und als summand drangehängt.

Ich sehe nicht, wie das benutzt und das Minus vor dem 1/(2n+2) erschließt sich mir auch nicht.

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Es wird nur n ersetzt (durch n+1). Dadurch erhält die Summe zwei neue Summanden.... naja, ich wiederhole mich... wie lauten diese beiden neuen Summanden denn?

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Ich glaube an dieser Stelle denke ich zu kompliziert, verstehe nur n wird durch n+1 ersetzt und wie sieht es mit dem Minus aus? Woher kommt das ? Dort habe ich mit + 1/(2n+2) weitergerechnet

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Zum 3.Mal: Es wird nur n ersetzt. Der Induktionsschluss fängt mit der neuen Summe an, also:

\(\sum\limits_{k=1}^{2n+2}(-1)^{k-1}\frac1k = \sum\limits_{k=1}^{2n}(-1)^{k-1}\frac1k + \text{Summand\ für k=2n+1} +  \text{Summand\ für k=2n+2}\)

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Das habe ich eben geschrieben, dass ich das verstanden habe, nur verstehe ich j dieses -1/(2n+2) nicht, warum dieser term negativ ist

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Ich hab auch schon gefragt, wie die beiden Summanden lauten, aber noch keine Antwort erhalten. Was ist denn \((-1)^{2n+1}\)?

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(-1)²ⁿ/(-1) wären das

-1ⁿ*-1ⁿ

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Wieso durch (-1)? Und ausgerechnet? Klammern beachten.

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Mal (-1) natürlich

(-1)*(-1)²ⁿ

Sind das dann nicht (-1)²ⁿ

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\((-1)\cdot (-1)^{2n}\) stimmt.

Normalerweise ändert sich das Vorzeichen, wenn man eine Zahl mit (-1) multipliziert...

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Hätten wir dann nicht insgesamt 1ⁿ

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Ich hab keine Ahnung, was Du rechnest. \((-1)^{2n}=((-1)^2)^n=1^n=1\).

Dann noch mal (-1).

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Ach so dadurch kommt es zum negativen Vorzeichen.

Lieben Dank für deine Zeit und Mühe, ich hoffe nur, dass du kein Lehrer bist, nichts für ungut.