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Aufgabe:

Für n ∈ N, sei an gegeben durch

a1 := 2,     an := an−1 + n2n   für n ≥ 2.

Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N die Gleichung

an = (n − 1)2n+1 + 2

gilt.


Problem/Ansatz:

Induktionsanfang:

a2 = (2-1)22+1 +2

a2 = 10

Induktionsbehauptung:

an=(n-1)2n+1+2 für alle n ∈ N mit n ≥ 2.


Wie mache ich nun den Induktionsschluss?

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a2=(21)22+1+2=8+2=10 a_2 = (2-1)2^{2+1} +2=8+2=10  und
a2=a1++222=2+24=2+8=10 a_2 = a_1 + +2\cdot 2^2 =2+2\cdot 4 = 2+8 =10

Angenommen es gilt für ein n

an=(n1)2n+1+2a_{n}= (n − 1)\cdot 2^{n+1} + 2      #

wegen der Rekursion folgt

an+1=an+(n+1)2n+1a_{n+1}=a_n +(n+1)\cdot 2^{n+1}

wegen # gilt also

an+1=(n1)2n+1+2+(n+1)2n+1a_{n+1}= (n − 1)\cdot 2^{n+1} + 2 +(n+1)\cdot 2^{n+1}

=n2n+12n+1+2+n2n+1+2n+1 = n \cdot 2^{n+1} - 2^{n+1} + 2 +n\cdot 2^{n+1} + 2^{n+1}

=n2n+1+2+n2n+1 = n \cdot 2^{n+1} + 2 +n\cdot 2^{n+1}

=2n2n+1+2=n2n+2+2 = 2n \cdot 2^{n+1} + 2 = n \cdot 2^{n+2} + 2 .

Und das ist genau der Term, den # für n+1 auch ergibt. q.e.d.

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