Vollständige Induktion an = (n − 1)2n+1 + 2

Question

Aufgabe:

Für n ∈ N, sei a_n gegeben durch

a₁ := 2,     a_n := a_n−1 + n2ⁿ   für n ≥ 2.

Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N die Gleichung

a_n = (n − 1)2ⁿ⁺¹ + 2

gilt.

Problem/Ansatz:

Induktionsanfang:

a₂ = (2-1)2²⁺¹ +2

a₂ = 10

Induktionsbehauptung:

a_n=(n-1)2ⁿ⁺¹+2 für alle n ∈ N mit n ≥ 2.

Wie mache ich nun den Induktionsschluss?

Answer 1

\( a_2 = (2-1)2^{2+1} +2=8+2=10 \) und
\(  a_2 = a_1 + +2\cdot 2^2 =2+2\cdot 4 = 2+8 =10\)

Angenommen es gilt für ein n

\(a_{n}= (n − 1)\cdot 2^{n+1} + 2 \)     #

wegen der Rekursion folgt

\(a_{n+1}=a_n +(n+1)\cdot 2^{n+1} \)

wegen # gilt also

\(a_{n+1}= (n − 1)\cdot 2^{n+1} + 2  +(n+1)\cdot 2^{n+1} \)

\( = n \cdot 2^{n+1} - 2^{n+1} + 2  +n\cdot 2^{n+1} + 2^{n+1}\)

\( = n \cdot 2^{n+1} + 2  +n\cdot 2^{n+1} \)

\( = 2n \cdot 2^{n+1} + 2 = n \cdot 2^{n+2} + 2  \).

Und das ist genau der Term, den # für n+1 auch ergibt. q.e.d.