Erläutern Sie die Bedeutung des Newtonverfahrens im Bezug auf Fixpunktprobleme.

Question

Aufgabe:

Erläutern Sie die Bedeutung des Newtonverfahrens im Bezug auf Fixpunktprobleme.

Answer 1

Fixpunkte der Funktion \(f\) sind Nullstellen der Funktion \(g: x\mapsto f(x) - x\).

Die Nullstellen der Funktion \(g\) können nur selten analytisch bestimmt werden, insbesondere wenn \(f\) transzendent ist.

Comments

Ich konnte nicht soviel mit der Antwort anfangen, bestimmt weil ichs nicht ganz verstehe. Ich habe bei Wikipedia allerdings noch das gefunden... ist dass damit vll gemeint?

Jede Fixpunktgleichung f(x) = x lässt sich in eine Nullstellengleichung g(x) = 0 umschreiben, indem man beispielsweise g(x) = f(x)-x setzt. Ebenso lässt sich jede Nullstellengleichung g(x) = 0 in eine Fixpunktgleichung f(x) = x überführen, indem man z. B. f(x) = x+g(x) setzt. So lassen sich zumindest theoretisch Verfahren zum Lösen einer der beiden Gleichungsformen auch für die jeweils andere verwenden.

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Weder im Text der Antwort noch im Wikipedia-Text kommt das Wort Newton-Verfahren vor.

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Ich konnte nicht soviel mit der Antwort anfangen, bestimmt weil ichs nicht ganz verstehe.

Wenn du Wörter, die ich in meiner Antwort verwendet habe, nicht verstehst, dann darfst du gerne fragen.

Jede Fixpunktgleichung f(x) = x lässt sich in eine Nullstellengleichung g(x) = 0 umschreiben

Davon handelt der erste Satz meiner Antwort.

Weder im Text der Antwort noch im Wikipedia-Text kommt das Wort Newton-Verfahren vor.

Ich habe die Frage "Was ist das Newton-Verfahren?" nicht gelesen. Ich bin deshalb davon ausgegangen, dass gast2345 grundsätzlich mit dem Newton-Verfahren vertraut ist und lediglich nach der Anwendung des Newton-Verfahren bei Fixpunktproblemen gefragt wurde.

Die Nullstellen der Funktion \(g\) können nur selten analytisch bestimmt werden

Den Schluss, dass dann ein numerisches Lösungsverfahren wie zum Beispiel das von Newton hilfreich sein könnte, habe ich gast2345 ebenfalls zugetraut.

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Jede Fixpunktgleichung f(x) = x lässt sich in eine Nullstellengleichung g(x) = 0 umschreiben

und umgekhrt : Jede Nullstellengleichung g(x)=0 mit der Lösung a lässt sich in eine Fixpunktgleichung f(x) = x mit der Lösung a umschreiben. Das f sollte allerdings möglichst geschickt gewählt werden – und f(x) = g(x)+x ist nicht die allerbeste Wahl im Hinblick auf Konvergenzgeschwindigkeit.
f(x) = c*g(x) + x (c≠0) oder noch allgemeiner f(x) = c(x)*g(x) + x (c(x)≠0) wäre ja auch möglich. Das Iterationsverfahren zur Fixpunktbestimmung konvergiert bekanntlich dann besonders schnell gegen a, wenn f'(a) = 0 ist - und diese beiden Bedingungen, nämlich f(a) = a und f'(a) = 0 liefern mittels Produktregel c(a) = -1/g'(a). Setzt man also c(x) = -1/g'(x), so erhält man die Fixpunktgleichung f(x) = x - g(x)/g'(x) für f, die das schnell konvergierende Newton-Verfahren zur Bestimmung einer Nullstelle von g ist.