Bestimmen Sie diese Stelle der waagerechten Tangente mit Hilfe des Newtonverfahrens.

Question

Aufgabe:

Newtonverfahren: Die Funktion

\( f(x)=\frac{x^{4}}{2}-x^{3}-12 x+3 \)
hat an genau einer Stelle eine waagrechte Tangente. Bestimmen Sie diese Stelle mithilfe des Newtonverfahrens. Stoppen Sie die Iteration, wenn sich die vierte Nachkommastelle nicht mehr ändert.

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, ich benötige eure Hilfe. Das anwenden des Newton-Verfahrens kann ich, jedoch weiß ich hier nicht, wie ich die Stelle mit der waagerechten Tangente bestimmen soll?

Comments

Muss ich dann die erste und zweite Ableitung in die Newtonformel einsetzen?

Answer 1

1. Ableitung bilden
   

           \(f'(x) = 2x^3 -3x^2 - 12\)

2. Ableitung gleich 0 setzen, weil die Ableitung die Steigung angibt und eine waagrechte Tangente die Steigung 0 hat

           \(2x^3 -3x^2 - 12 = 0\).

3. Gleichung mit dem Newton-Verfahren lösen.
   

Comments

Vielen Dank für die Antwort.

Also muss ich aber die 2. Ableitung auch noch bestimmen, weil ich die ja benötige für das 'Newton-Verfahren.

Ist das richtig?

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Die linke Seite der Gleichung wird als Funktionsterm

        \(g(x) = 2x^3 -3x^2 - 12\)

aufgefasst und dann wird mittels

        \(x_{n+1}=x_n - \frac{g(x_n)}{g'(x_n)}\)

iteriert.

Dass zufälligerweise \(g'(x) = f''(x)\) ist, ist der Aufgabenstellung geschuldet.

Beispiel. Bestimme die Stelle an der die Funktion \(f\) die gleiche Steigung hat wie die Funktion \(h(x)= x^2\).

In dieser Aufgabe taucht \(f''(x)\) während der Iteration nicht auf.

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Xn+1=Xn- 2x^3-3x^2-12/6x^2-6x

So ist es richtig?

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Da fehlen Klammern.

    X_n+1 = X_n - (2x³-3x²-12)/(6x²-6x).

Jetzt ist es richtig.

Answer 2

Muss ich dann die erste und zweite Ableitung in die Newtonformel einsetzen?

Richtig. Du suchst ja die Nullstelle der ersten Ableitung

f(x) = x^4/2 - x^3 - 12·x + 3

g(x) = f'(x) = 2·x^3 - 3·x^2 - 12

Du suchst jetzt die Nullstellen der Funktion g(x). Brauchst dafür also im Newtonverfahren

g'(x) = 6·x^2 - 6·x

Ich erhalte als Lösung x = 2.477509005