Welchen Fehler habe ich beim Gauß-Algorithmus gemacht?

Question

Aufgabe: Gebe zum Eigenwert 9 von A eine Basis des Eigenraumes an:

A = \( \begin{pmatrix} 7 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & -1 \\ 2 & -3 & 5 \end{pmatrix} \)

Zuerst A - Eigenwert * E_n:

\( \begin{pmatrix} -2 & -6 & -5 \\ -4 & -3 & -10 \\ -7 & -12 & -4\end{pmatrix} \)

Ich habe dann den Gauß-Algorithmus angewendet:  

\( \begin{pmatrix} 2 & 6 & 5 \\ 4 & 3 & 10 \\ 7 & 12 & 4\end{pmatrix} \)  (II - 2*I) und (2*III)

\( \begin{pmatrix} 2 & 6 & 5 \\ 0 & -9 & 0 \\ 14 & 24 & 8\end{pmatrix} \) (III - 7*I) und (2*-1/9)

\( \begin{pmatrix} 2 & 6 & 5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -18 & -27\end{pmatrix} \) (I-6*II) und (III+18*II) und (III*-1/27)

\( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \) (I-5*III) und (I*1/2)

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \)

Also wäre die Lösung: \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)

Die Musterlösung sagt jedoch:

\( \begin{pmatrix} -1\\2\\1 \end{pmatrix} \)

Wo liegt mein Fehler?

Answer 1

Du hast A-9B gerechnet, wo B überall Einsen hat. Es muss aber, wie Du anscheinend weißt, A-9E_n gerechnet werden, und E_n hat nur in der Diagonalen Einsen, sonst Nullen.

Answer 2

Aloha :)

Du hast den Eigenwert von allen Matrix-Elementen subtrahiert. Richtig wäre gewesen, den Eigenwert nur von den Elementen der Hauptdiagonalen zu subtrahieren.$$\left(\begin{array}{rrr}\pink{-2} & 3 & 4\\5 & \pink{-3} & -1\\2 & -3 & \pink{-4}\end{array}\right)\cdot\vec x=\vec 0$$