Wieso kriege ich zwei verschiedene Approximationen raus?

Question

Aufgabe: Ist Ax = b lösbar? Falls nicht, bestimmte die Approximation.

A = \( \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 2 & -2 & 2 \end{pmatrix} \)

b = \( \begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix} \)

Wir haben dazu zwei Methoden in der Vorlesung kennengelernt.

Falls der Rang von A = n ist (also A ist eine Κ^nxn Matrix), dann kann man (A^trA)^-1A^trb benutzen.

Und es funktioniert immer: Die Lösungsmenge von (A^trA, A^trb).

Die Musterlösung lautet: \( \begin{pmatrix} 1/2\\0\\0 \end{pmatrix} \) und dafür gab es auch die volle Punktzahl.

Aber wenn ich die zweite Methode anwende, dann erhalte ich die Lösung: \( \begin{pmatrix} 1/2\\0\\0 \end{pmatrix} \) + t * \( \begin{pmatrix} -2\\-1\\1 \end{pmatrix} \) mit t ∈ ℝ.

Weiß vielleicht jemand woran das liegt, und was am Ende korrekt ist?

Comments

Du schreibst: Falls der Rsng gleich n, also hier gleich 3 ist....

Der Rsng ist nicht 3

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Mein Fehler, ich habe die Frage korrigiert!

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Hallo

irgendwas ist falsch! die Musterlösung löst ja 2x-2y+2z=2 nicht?

sieh dir deine frage noch mal genau an.

lul

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Das Gleichungssystem ist offensichtlich nicht lösbar. Vielleicht falsch abgeschrieben? Oder die Lösung passt nicht zur Aufgabe?

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Es ist alles richtig mit der Aufgabe und der Lösung, es geht um die beste Approximation.
Falsch ist dagegen "Falls der Rang von A = n ist....": naja, dann kann man's zwar so lösen, aber in diesem Fall hätte A vollen Rang und dann ist es ein ganz normales eindeutig lösbares LGS. Ein genauer Blick in die Unterlagen ist da angesagt.

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@Gast az081, es ist nur nach der Approximation gefragt, weil das Gleichungssystem nicht lösbar ist.

@nudger, also ich habe alles noch mal nachgeprüft und auch Kommilitonen gefragt. A ist richtig. b ist richtig. Meine Lösung ist laut einem Online-Rechner richtig. Laut Musterlösung / Korrektur scheint es aber keine freie Unbekannte zu geben oder diese wird bei der Approximation weggelassen.

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Ich hab die Aufgabe und Deine Frage verstanden, aber gerade keine Zeit. Was ich oben zitiert habe, ist aber definitiv falsch, hat aber mit der Aufgabe direkt nichts zu tun.

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Ohne den ganzen Vorlesungsballast erkennt 100 m gegen den Wind, das es keine Lösung gibt - auch keine Approximation.

Answer 1

Alle Lösungen Deiner zweiten Methode minimieren \(\|Ax-b\|\), alle liefern \(\|Ax-b\|=\sqrt2\), alle sind in diesem Sinne gleichwertige "beste Approximationen".

Warum diese eine (t=0) hervorgehoben wird (durch Angabe in der Musterlösung), kann ich auch nicht sagen. Da müsstest Du genau in Deine Unterlagen schaue, wie "beste Approximation" definiert ist für den Fall, dass es mehrere gleichwertige gibt.

Man könnte spekulieren, dass es die Lösung mit der kleinsten Norm ist, stimmt aber auch nicht (denn die Lösung mit t=1/6 hat die kleinste Norm). Es ist halt die Lösung mit den meisten Nullen im Vektor, das ist aber in der Mathematik kein übliches Kriterium.

Kurz, ohne weitere Zusatzinfo aus der Vorlesung (die ich nicht habe) ist Deine Lösung genauso gut wie die Musterlösung.

Comments

Vielen Dank! Anscheinend hätte man t frei wählen können. Es gab keine Regel dazu, anscheinend war das weglassen nur legitim, weil das als t = 0 gewertet wurde. Man hätte auch t = 573 oder sonstiges setzen können.

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Ja, so ist es auch math. sinnvoll. Übrigens wieder mal ein altbekanntes Phänomen: Die Angabe einer Musterlösung bedeutet nicht zwangsläufig, dass alle anderen Lösungen falsch sind.

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Steht in der Aufgabe "Falls nicht, bestimmte die Approximation."?

Dann wäre 1. die Grammatik zu bemängeln.

Dann wäre 2. zu bemängeln, dass es nicht die sondern eine Approximation gibt.

Dann wäre 3. zu bemängeln, dass eine Musterlösung ruhig alle Lösungen angeben dürfte.

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Ich vermute stark, dass das nicht der Originalaufgabentext ist.

Bei 3. widerspreche ich. Es gibt oft mehrere Beweisführungen/Rechenwege usw.. Wenn eine Parameterdarstellung von Geraden gesucht ist, gibt auch keiner alle an. Der Wert von "Musterlösungen" wird von vielen Fragern (und Helfern) überschätzt. Hier konkret: Ohne diese "Musterlösung" hätte der Frager die Aufgabe richtig und ohne Selbstzweifel gelöst.