Wie kriege ich die Steigungen der Tangenten raus?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei f(x) = 1,5x^3-4,5x^2+6

Unter Welchen Winkeln schneiden die Tangenten an f , welche den Punkt P(0/6) enhalten, die y-Achse

Problem/Ansatz

ich soll hier einmal die Schnittwinkel der beiden Tangenten berechnen. Wie kriege ich die Steigungen der Tangenten raus ?

Answer 1

Die Tangente

        \(t(x) = mx+b\)

hat dort wo sie angelegt wird die gleiche Steigung wie die Funktion:

(1)        \(f'(x_0) = t'(x_0)\).

Sie hat auch dort wo sie angelegt wird den gleichen Funktionswert wie die Funktion:

(2)        \(f(x_0) = t(x_0)\).

Tangenten an f , welche den Punkt P(0/6) enhalten

(3)        \(t(0) = 6\).

Löse das Gleichungssystem.

Answer 2

Zur Kontrolle (Herleitung siehe oswalds Antwort): Die beiden Tangenten durch [0|6] an den Graphen von f haben die Gleichungen: y=6 und y= - \( \frac{27}{8} \)x+6.

Answer 3

\(f(x) = 1,5x^3-4,5x^2+6\)

\(f´(x) = 4,5x^2-9x\)

\(P(0|6)\)

\( \frac{y-6}{x}=4,5x^2-9x \)

\( y=4,5x^3-9x^2+6 \)

\( 4,5x^3-9x^2+6=1,5x^3-4,5x^2+6 \)

\( 3x^3-4,5x^2=0 \)

\( x^2*(3x-4,5)=0 \)

\( x_1=0 \)    \( y_1=6 \)   →  \(f´(0) = 0\)   → Winkel mit y-Achse \(0°\)

\( x_2=1,5 \)    \( y_2=1,5*1,5^3-4,5*1,5^2+6=\frac{15}{16} \)     →  \(f´(1,5) = 4,5*1,5^2-9*1,5\\= 4,5*1,5^2-9*1,5=-\frac{27}{8}\)  → Winkel mit y-Achse \(16,5°\)