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Sei \( V \) ein Vektorraum über einem Körper \( K \).
(A) Ist \( \left(p_{0}, p_{1}, p_{2}\right) \) affine Basis eines 2-dimensionalen affinen Raumes \( \mathcal{A}=r+X \) mit \( r \in V, X \) Unterraum von \( V \) und \( K=\mathbb{Z}_{2} \), so ist \( \left\{p_{0}+p_{1}, p_{1}+p_{2}\right\} \) eine Basis von \( X \).
(B) Ist \( n \geq 2 \) und \( \left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right) \) eine Basis von \( V \), so ist
\( \left(\left(1, b_{1}\right), \ldots,\left(1, b_{n}\right),\left(1, \sum \limits_{i=1}^{n} b_{i}\right)\right) \)
eine affine Basis des affinen Raumes \( 1 \times V \subset K \times V \).
(C) Ist \( \left(p_{0}, \ldots, p_{3}\right) \) eine affine Basis eines 3 -dimensionalen affinen Raumes \( \mathcal{A} \), und \( \left(p_{0}^{\prime}, \ldots, p_{3}^{\prime}\right) \) ebenfalls eine affine Basis von \( \mathcal{A} \), dann gibt es genau eine bijektive affine Abbildung \( \alpha: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{A} \), die \( \alpha\left(p_{i}\right)=p_{i}^{\prime} \) für alle \( i \in\{0,1,2,3\} \) erfüllt.
Alle drei Aussagen sind wahr. Könnte mir bitte jemand erklären warum genau.
