Matrizenmultiplikation Aufgabe 10-12

Question

Aufgabe:

Kann mir jemand Aufgabe 10,11 und 12 erklären bitte

Text erkannt:

AUFGABEN
10 Bestimmen Sie \( a \) und \( b \) so, dass für die Matrix \( A=\left(\begin{array}{ll}1 & a \\ 2 & b\end{array}\right) \) gilt: \( A^{2}=E \).
11 Gegeben ist die Matrix \( A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right) \). Berechnen Sie \( A^{3} \) und geben Sie \( A^{n} \) an.
12 Berechnen Sie a, b und d, so dass \( \left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 4 & 3\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ll}a & 2 \\ 5 & b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}3 & c \\ d & 26\end{array}\right) \).
13 Ein Betrieb stellt aus den zwei Rohstoffen \( R_{1} \) und \( R_{2} \) die Produkte \( E_{1} \), \( E_{2} \). und \( E_{3} \) her. Der Materialfluss in ME ist der Tabelle zu entnehmen. Berechnen Sie, wie viel ME der Rohstoffe für die Produktion von
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline & \( E_{1} \) & \( E_{2} \) & \( E_{3} \) \\
\hline\( R_{1} \) & 2 & 1 & 3 \\
\hline\( R_{2} \) & 4 & 0 & 2 \\
\hline
\end{tabular}

Answer 1

10 Einsetzen von

        \( A=\begin{pmatrix}1 & a \\ 2 & b\end{pmatrix}\)

und

        \(E = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\)

in

        \(A^2 = E\)

liefert

        \(\begin{pmatrix}1 & a \\ 2 & b\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\).

Ausrechnen der Matrixmultiplikation auf der linken Seite ergibt

        \(\begin{pmatrix}1+2a & ab+a \\ 2+2b & b^2+2a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\).

Komponentenvergleich liefert das Gleichungssystem

        \(\begin{aligned}1+2a&=1\\ab+a&=0\\2+2b&=0\\b^2+2q&=1\end{aligned}\)

Löse das Gleichungsystem.

11 Was genau hast du hier nicht verstanden?

12 Links die Matrixmultiplikation ausrechnen und dann wie bei 10 Gleichungssytem mittels Komponentenvergleich aufstellen und Lösen.

Comments

wie kommst du da drauf das ab = 0 ist und bhoch2 gleich 1? und wie kommst du auf q

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und verstehst du aufgabe 11 und 12?

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wie kommst du da drauf das ab = 0 ist und bhoch2 gleich 1?

Überhaupt nicht. Ich habe auch weder behauptet, dass \(ab=0\), noch dass \(b^2 = 1\) ist.

und wie kommst du auf q

Ist ein Tippfehler.

und verstehst du aufgabe 11 und 12?

Ja.

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ich meine ab+a = 0 und b^+2=1 wie kommst du da drauf, und kannst du mir bitte die anderen aufgaben erklären

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ich meine ab+a = 0

Die Komponente rechts oben in der Matrix \(\left(\begin{smallmatrix}1+2a & ab+a \\ 2+2b & b^2+2a\end{smallmatrix}\right)\) ist gleich der Komponente rechts oben in der Matrix \(\left(\begin{smallmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right)\).

kannst du mir bitte die anderen aufgaben erklären

Was genau hast du nicht verstanden?

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ja das verstehe ich schon aber wie löst man die gleichung auf

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aber wie löst man die gleichung auf

Es gibt keinen Grund, die Gleichung aufzulösen.

Man löst das Gleichungssystem. Das kann man zum Beispiel machen indem man eine Gleichung nach einer Variablen auflöst, in alle anderen Gleichungen einsetzt und so lange wiederholt, bis man die Werte aller Variablen kennt.

Angesichts der Tatsache, dass in der ersten und der dritten Gleichung jeweils nur eine Variable vorkommt, bietet es sich an, diese Gleichungen nach den entsprechenden Variablen zu lösen und dann in die zweite und die vierte Gleichung einzusetzen.

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Hier ist es allerdings einfacher, mit der Gleichung \(0=ab+a\) die Werte für \(a\) und \(b\) zu bestimmen und damit dann die ursprüngliche Matrizengleichung nachzurechnen.

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Nein, es ist einfacher die Gleichungen 1+2a=1 und 2+2b=0 zu lösen und dann mit den zwei anderen Gleichungen eine Probe durchzuführen.

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Na, ich finde $$\begin{aligned} ab+a&=0\\ a\cdot \left(b+1\right)&=0\\ a=0\quad &\lor\quad b=-1 \end{aligned}$$ einfacher.

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Na, ich finde ... einfacher.

Unterschiedliche Menschen finden halt unterschiedliche Rechenwege einfacher als andere Rechenwege.

\(a=0\quad \lor\quad b=-1\)

Zufälligerweise ist

      \(a=0\quad \land\quad b=-1\)

sogar eine Lösung des Gleichungssystems. Das muss aber erst ein mal anhand von drei Gleichungen oder einer 2×2-Matrixmultiplikation geprüft werden. Wäre das keine Lösung, dann wären weitere Rechnungen zur Bestimmung der Lösung notwendig.

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Okay, ich gebe dir recht. Das hatte nicht bedacht.