orthogonalen Vektor finden

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die reellen Zahlen w und u so, dass der Vektor

d⃗ =w⋅a⃗ +3⋅b⃗ +u⋅c⃗

sowohl zu a⃗
als auch zu b⃗  orthogonal ist. Dabei sind folgende Skalarprodukte der drei Vektoren a⃗ , b⃗  und c⃗

bekannt:
a⃗ ⋅a⃗ =2

b⃗ ⋅b⃗ =2

c⃗ ⋅c⃗ =1

a⃗ ⋅b⃗ =0

a⃗ ⋅c⃗ =3

b⃗ ⋅c⃗ =3

Tipp: Nutzen Sie die mathematische Bedingung, die aus a⃗ ⊥d⃗  und b⃗ ⊥d⃗  folgt, und setzen in diese jeweils den obigen Ausdruck von d⃗  ein. Beim Ausmultiplizieren nutzen Sie dann die bekannten Skalarprodukte.

Problem/Ansatz:

Ich habe keinen Plan wie ich anfangen soll, obwohl ein Ansatz als Tipp gegeben ist.

Comments

Beim Ausmultiplizieren nutzen Sie dann die bekannten Skalarprodukte.

Das soll wohl eher heißen:

Beim Ausmultiplizieren nutzen Sie dann die bekannten Eigenschaften

des Skalarprodukts.

---

Das soll wohl eher heißen:

Nein, es bezieht sich doch offensichtlich auf die sechs angegebenen Produkte.

---

Es ist doch ganz egal, welche Gestalt die Skalarprodukte haben.

Das Einzige, was zählt, sind bei dieser Aufgabe

die Eigenschaften Symmetrie und Bilinearität.

Daher habe ich daran gezweifelt, dass es sich

hier um den Originalaufgabentext handelt

Answer 1

Hallo,

aa =2

bb=2

cc=1

ab=0

ac=3

bc=3

d=wa+3b+uc

0=ad=wa^2+3ab+uac=2w+3u

0=bd=wab+3b^2+ubc=6+3u → u=-2

0=2w-6 → w=3

:-)

Answer 2

Leider sind die Vektoren deiner Frage nicht lesbar. Deshalb nur soviel. Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist.

Comments

Die Vektoren heißen a, b, c und d, und die gesuchten Skalare w und u. Die Vektorpfeile sind häßlich und können weggelassen werden.

Answer 3

Wegen der Symmetrie und Bilinearität des Skalarprodukts

"\(\cdot\)" ergibt sich:

\(d\cdot a=0\Rightarrow 0=wa\cdot a+3b\cdot a+uc\cdot a=2w+3u\) und

\(d\cdot b=0\Rightarrow 0=wa\cdot b+3b\cdot b+uc\cdot b=6+3u\).

Das LGS für \(u,w\) liefert \(u=-2,\; w=3\).