Differenz aus Obersumme und Untersumme

Question

Aufgabe:

Differenz von Obersumme und Untersumme bei der Quadratfunktion
14. a) Zeigen Sie anhand der nebenstehenden Zeichnung, dass die Differenz aus Obersumme (Rechtecke reichen über den Graphen) und Untersumme (Rechtecke enden unter dem Graphen) im Intervall [0; b] den Wert \( \frac{\mathrm{b}^{3}}{\mathrm{n}} \) annimmt, unabhängig davon, wie groß man die Anzahl \( n \) der Rechtecke wählt.
b) Was bedeutet das Ergebnis aus Teilaufgabe a) für die Abschätzung des Integrals?

Problem/Ansatz:

… ich komme da gar nicht weiter, kann mir jemand die Lösung mit Rechenweg bitte zeigen :)

Comments

Wie bildest du die Summen?

Mach dir eine Skizze!

---

also warte Delta x entspricht der breite b/n
Also Sn obersumme wäre= (1• b/n)2+ (2•b/n)^2 +…+ (n•b/n)^2
Die Fläche von Rechteck: Sg (b/n) • (b^2/n) • (1+4+…n^2)
Macht das Sinn ? Wenn ja wie mache ich da jetzt weiter weil theoretisch sollte sich bei der Differenz dann alles so aufheben, dass (b3/n) bleibt oder ?

---

Die Fläche ist: b/n* f(b/n)+  2*b/n*f(2*b/n) + ...

Answer 1

Es geht um die grauen Rechtecke:

Sie haben alle die Breite b/n und die Höhe f(kb/n)-f((k-1)b/n).

Comments

Stapel alle Rechtecke übereinander. Dann haben sie die Höhe b^2 und die Breite b/n und damit die Fläche b^2 * b/ n = b^3/n