Ober- und Untersumme verkürzte Rechnung

Question

Hey :)

Wenn man die Obersumme berechnet hat dann kann man ja die Untersumme berechnen indem man von der Obersumme den rechten Streifen abzieht.

Also als beispiel bei der funktion f(x)=x² und man soll U₈ und O₈ berechnen. Bei der Untersumme hat man 51/128 raus und dann darf man so rechnen

51/128 - 1/8 * 1 = 35/128

Könnte jemand hierfür eine mathematisch klingende Erklärung schreiben?

Comments

Schau mal bei den "ähnlichen Fragen", die kam bestimmt schon mal fast gleich.

Du musst etwas den Links nachgehen. Vielleicht ab hier: https://www.mathelounge.de/197444/ober-und-untersumme

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51/128 - 1/8 * 1 = 35/128

Sollte die Obersumme nicht grösser sein als die Untersumme? 

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Ja ist sie auch ich ausersehen Untersumme geschrieben meinte aber Oberstumme

Answer 1

Wenn bei einer über einem Intervall [a;b ] stetigen monoton steigenden Funktion f das Intervall in n gleich breite

Teilintervalle zerlegt wird, finden sich  außer der linken Rechteckfläche der Untersumme U_n und der rechten

Rechteckfläche der Obersumme  O_n alle anderen Rechteckflächen sowohl bei U_n als auch bei O_n.

Es gilt also:  O_n - U_n = (b-a) / n • f(b) -  (b-a) / n • f (a)      = (b-a) / n • [ f(b) - f(a) ]

Wenn z.B. O_n bekannt ist, kann man daraus U_n bestimmen.