Ist die Stammfunktion so richtig?

Question

Aufgabe:

Stammfunktion bilden
Problem/Ansatz:

Sind die Rechnungen wie folgt richtig:

f(x)=2/x³+4

F(x)=-1/2x^-2*2x+4x

f(x)=x⁷+1/x²

F(x)= -x *1/8x³+x

Comments

Das sind keine Rechnungen, sondern nur Ergebnisse. Die kannst Du selbst überprüfen durch Ableiten. Dabei lernst Du auch noch was und findest manchmal selbst Fehler, ist daher viel besser als vergleichen mit Ergebnissen von anderen ("learning by doing, not by watching").

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f(x)=2/x³+4
F(x)=-1/2x^-2*2x+4x

f(x)=x⁷+1/x²
F(x)= -x *1/8x³+x

Sorry, aber bei so dargestellten Gleichungen frage ich mich immer, ob da nicht irgendwelche Klammern fehlen. Deshalb gehe ich dann oft einfach mal weiter zur nächsten (hoffentlich klar lesbaren) Frage.

Answer 1

Aloha :)

Beim Ableiten von \((x^n)\) gehtst du wie folgt vor:

1) Multiplikation mit dem Exponenten

2) Verminderung des Exponenten um \(1\)

Formal heißt das:$$\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}$$

Beim Integrieren von \((x^n)\) musst du das Gegenteil in umgekehrter Reihenfolge tun:

1) Erhöhung des Exponenten um \(1\)

2) Division durch den (neuen) Exponenten.

Formal heißt das:$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\text{const}$$

In deinen Fällen sieht das dann so aus:$$f(x)=\frac{2}{x^3}+4=2x^{-3}+4x^0\quad\implies$$$$F(x)=2\,\frac{x^{-2}}{-2}+4\,\frac{x^1}{1}=-x^{-2}+4x=-\frac{1}{x^2}+4x$$

$$f(x)=x^7+\frac{1}{x^2}=x^7+x^{-2}\quad\implies$$$$F(x)=\frac{x^8}{8}+\frac{x^{-1}}{-1}=\frac{x^8}{8}-\frac1x$$

Die Integrationskonstante habe ich weggelassen.

Answer 2

Benutze https://www.integralrechner.de/ zur Hilfe und Selbstkontrolle.

a)

f(x) = 2/x^3 + 4

F(x) = 4·x - 1/x^2

b)

f(x) = x^7 + 1/x^2

F(x) = 1/8·x^8 - 1/x

Comments

sind meine ergebnisse richtig ?

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Nein. Das kannst du sehen, wenn du sie mit meinen oder denen eines Rechners vergleichst.

Answer 3

bruchfrei schreiben macht es einfacher, die Potenzregel anzuwenden:

2/x^3 +4 = 2*x^-3 +4

->F(x) = 2*x^-2/-2 +4x = -x^-2 +4x = -1/x^2 +4 +C

Wie kommst du auf 2x? Ohne x wäre es richtig.

b) x^7+1/x^2 = x^7 +x^-2

F(x) = x^8/8 + x^-1/-1 = x^8/8  - x^-1 = 1/8*x^8  - 1/x +C

Was hast du hier gerechnet?