Wie oft muss man wurfeln, damit die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Augenzahlen mindestens 1000 betragt, …

Question

Aufgabe: Wie oft muss man wurfeln, damit die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Augenzahlen mindestens 1000 betragt, groser als 0.9 ist (verwenden Sie eine geeignete Approximation)?

Answer 1

Sei \(X_i\) die Zufallsgröße "Augenzahl des \(i\)-ten Wurfes" für jedes \(i\in \{1,\dots,n\}\). Dann ist \(X_i\) gleichverteilt mit Erwartungswert \(\frac{7}{2}\) und Varianz \(\frac{35}{12}\).

Laut zentralem Grenzwertsatz ist dann für große \(n\) die Zufallsgröße \(S_n\coloneqq \sum_{i=1}^{n}X_i\) annähernd normalverteilt mit

(1)        \(\mu = n\cdot \frac{7}{2}\)

und

(2)        \(\sigma^2 = n\cdot \frac{35}{12}\).

Gesucht ist das kleinste \(n\), für das

        \(P(S_n\geq 1000) \geq 0{,}9\)

ist. Dazu:

1. Finde das \(q\) für das \(P(X\geq q) = 0{,}9\) bei standardnormalverteiltem \(X\) ist.

2. Löse das Gleichungssystem aus den Gleichungen (1), (2) und der Gleichung

   (3)        \(\mu + q\cdot \sigma = 1000\).