Fairer Würfel 100 mal geworfen, Wahrscheinlichkeit für Summe der Augenzahlen

Question

für eine Hausaufgabe muss ich folgende Aufgabe lösen:

Ein idealer Würfel werde 100 Mal unabhängig voneinander geworfen. Berechnen Sie mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe aller geworfenen Zahlen größer gleich 316 und kleiner gleich 384 ist.
  a) Berechnung ohne Stetigkeitskorrektur
  b) Berechnung mit Stetigkeitskorrektur

Mein Problem ist, dass der zentrale Grenzwertsatz (meines Wissens nach) angewandt wird, um eine Binomialverteilung B(n, p) durch eine Normalverteilung N(np, np(1-p)) zu approximieren. Hier finde ich zwar noch ein n = 100, aber das p fehlt mir.

Intuitiv würde ich das Problem lösen, indem ich alle möglichen Ereignisse (6¹⁰⁰) berechne und alle günstigen Ereignisse berechne, und dann

\( \frac{günstige Ereignisse}{mögliche Ereignisse} \)

rechne.

Wie das mit dem Zentralen Grenzwertsatz funktionieren soll, verstehe ich jedoch nicht. Kann mir dabei bitte jemand helfen?

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Gönnhardt

Comments

Ein idealer Würfel = ein fairer Würfel, bedeutet P(Kopf)=0.5, P(Zahl)=0.5

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Ein idealer Würfel = ein fairer Würfel, bedeutet P(Kopf)=0.5, P(Zahl)=0.5

Ich denke das war für eine Münze und nicht für einen Würfel.

Answer 1

Ich hatte neulich eine ähnliche Aufgabe zu bearbeiten:

https://www.mathelounge.de/603811/stochastik-augensumme-von-mind-1450-bei-wurfen-eines-wurfels

Deine Aufgabe würde ich genau so berechnen.

Ein idealer Würfel werde 100 Mal unabhängig voneinander geworfen. Berechnen Sie mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe aller geworfenen Zahlen größer gleich 316 und kleiner gleich 384 ist.

X: Sei die Zufallsgröße der Augen bei einem Wurf
E(X) = 1·1/6 + 2·1/6 + 3·1/6 + 4·1/6 + 5·1/6 + 6·1/6 = 3.5
V(X) = 1^2·1/6 + 2^2·1/6 + 3^2·1/6 + 4^2·1/6 + 5^2·1/6 + 6^2·1/6 - 3.5^2 = 35/12 = 2.917

Y: Sei die Zufallsgröße der Augensumme bei 400 Würfen
E(Y) = E(100·X) = 100·E(X) = 350
V(Y) = E(100·X) = 100·V(X) = 875/3 = 291.7

a) Berechnung ohne Stetigkeitskorrektur

P = Φ((384 - 350)/√(875/3)) - Φ((316 - 350)/√(875/3)) = Φ(1.990836148) - Φ(-1.990836148) = 0.9767505480 - (1 - 0.9767505480) = 0.9535010960

b) Berechnung mit Stetigkeitskorrektur

P = Φ((384 + 0.5 - 350)/√(875/3)) - Φ((316 - 0.5 - 350)/√(875/3)) = Φ(2.020113151) - Φ(-2.020113151) = 0.9783141739 - (1 - 0.9783141739) = 0.9566283478

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Vielen Dank, das sieht super aus!