Aufgabe:
Problem/Ansatz:
Text erkannt:
Definition Es seien \( G \) und \( H \) zwei Gruppen. Dann definieren wir auf \( G \times H \) eine Verknüpfung * wie folgt
\( \left(g_{1}, h_{1}\right) *\left(g_{2}, h_{2}\right)=\left(g_{1} g_{2}, h_{1} h_{2}\right) . \)
Man kann leicht zeigen, dass \( G \times H \) mit dieser Verknüpfung eine Gruppe bildet. Das neutrale Element ist \( \left(e_{G}, e_{H}\right) \) und das inverse Element zu \( (g, h) \) ist \( \left(g^{-1}, h^{-1}\right) \). Die Gruppe \( G \times H \) heißt das direkte Produkt der Gruppen \( G \) und \( H \).
Beispiel 2.3.4 Wir betrachten die Gruppe \( \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \). Die Gruppentafel sieht wie folgt aus
\begin{tabular}{c|cccc}
\( * \) & \( (0,0) \) & \( (0,1) \) & \( (1,0) \) & \( (1,1) \) \\
\hline\( (0,0) \) & \( (0,0) \) & \( (0,1) \) & \( (1,0) \) & \( (1,1) \) \\
\( (0,1) \) & \( (0,1) \) & \( (0,0) \) & \( (1,1) \) & \( (1,0) \) \\
\( (1,0) \) & \( (1,0) \) & \( (1,1) \) & \( (0,0) \) & \( (0,1) \) \\
\( (1,1) \) & \( (1,1) \) & \( (1,0) \) & \( (0,1) \) & \( (0,0) \)
\end{tabular}
Ich checke nicht so recht wieso aus bspw. (0,1)*(1,1)=(1,0) wird. Also die ganze Tafel verstehe ich nicht :D
