Splinefunktionen: Bestimmen Sie reelle Parameter a und b

Question

Aufgabe:

Splinefunktionen: Bestimmen Sie reelle Parameter \( a \) und \( b \) so, dass die Funktion

\( s(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}+a x+b & \text { für } x \leq 2, \\ \frac{x}{2}+1 & \text { für } x>2 \end{array}\right. \)
ein quadratischer Spline (mit dem Knoten \( x_{1}=2 \) ) ist.

Problem/Ansatz:

Gibt es hierzu einfach zu verstehende Step by Step Anleitung?

Leider schreibe ich die Prüfung sehr bald und bin noch nicht dazu gekommen, mich mit diesem Thema genauer zu beschäftigen, die Aufgaben in den Altprüfungen schauen immer ungefähr so aus.

Würde mich wirklich sehr freuen, wenn mir hier jemand einen Anstoß geben könnte

LG

Answer 1

Erster Schritt: Def. quadratischer Spline nachschlagen. Mach ich mal für Dich: ein qS muss einmal stetig differenzierbar sein. Hier gibt es nur eine kritische Stelle, an der diese Bedingung verletzt sein könnte, nämlich bei x=2.

Stelle also die Bedingungen auf (f stetig in x=2, f' stetig in x=2) auf, gibt zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Löse, fertig.

Comments

s(x) ist stetig, wenn Grenzwert s1(x) = Grenzwert s2(x)

Also würde ich den Grenzwert von s2(x) berechnen = 2

also ist meine erste Gleichung: 2²+2a+b = 2

s1'(x) = 2x+a
s2'(x) = 0,5

also ist hier der Grenzwert = 0,5

also ist meine zweite Gleichung: 4 +a = 0,5

I
4+2a+b = 2
4 +a = 0,5

II.

2a+b = -2
a = -3,5

-7+b=-2

b = 5

So richtig oder habe ich etwas falsch verstanden?

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So richtig oder habe ich etwas falsch verstanden?

Lass Dir die Funktion mit den Werten \(a=-3,5\) und \(b=5\)  doch von irgendeinem Tool zeichnen:

https://www.desmos.com/calculator/uikfp5ltbv

Sieht richtig aus! Die Ableitung (der grüne Graph) ist ebenfalls stetig.

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Ja, alles richtig. Dann hast Du's auch verstanden und das gewünschte Schema sollte Dir klar sein. Wenn es mehr als eine kritische Stelle gibt (hier ist's ja nur x=2), dann müssen die Bedingungen an den anderen Stellen entsprechend auch angesetzt werden. Gibt dann halt mehr Gleichungen, dafür hat man dann aber auch mehr Unbekannte und darf mehr rechnen ;-)

Prinzip sollte aber damit klar sein.