Was genau ist rechnerisch der Unterschied zwischen Sattelpunkt und Wendepunkt?

Question

Aufgabe:

Ein positiver Wert bei der Überprüfung mit der dritten Ableitung ist ein Sattelpunkt?

Problem/Ansatz:

Bei der Funktion f(x)= x^3 - 3x^2 + 3x bekommt man, wenn man die zweite Ableitung auf null umstellt, zwei Lösungen.

f(x)'' = 36x^2 - 108x + 72  → x1= 2   |  x2= 1 

Wenn ich den Sattelpunkt mit der dritten Ableitung überprüfe bekomme ich mit x = 2  36. Mit x = 1 bekomme ich -36.

Ich weiß dass x = 2 richtig ist, kann auch daraus schließen dass der positive Wert bei der Überprüfung ein Sattelpunkt ist?

Ebenfalls:

Damit ich rechnerisch weiß, ob ein Wendepunkt ein Sattelpunkt ist muss ich f(x)' gleich null stellen und wenn dort 0 herauskommt ist es ein Sattelpunkt?
Oder wie genau kann ich dies rechnerisch kontrollieren?

Answer 1

Sattelpunkt: f '(x) = 0 und f ''(x) = 0

Für den WP gilt: f '''(x) ungleich 0

Ein Funktionsgraph hat einen Sattelpunkt oder Terrassenpunkt, wenn er an einer Stelle gleichzeitig einen Wendepunkt und eine waagerechte Tangente besitzt. Dies bedeutet für die notwendige Bedingung, dass dort sowohl die erste als auch die zweite Ableitung der Funktion verschwinden (null sind).

Hier sieht man den Sattel schön:

https://www.wolframalpha.com/input?i=x3+-+3x2+%2B+3x+

Comments

für \(f(x)=x^6\) gilt \(f'(0)=0\) und \(f''(0)=0\),

aber \(f\) hat keinen Sattelpunkt in 0, da bei 0 kein

Wendepunkt vorliegt: \(f^{(3)}(0)=0\).

Answer 2

\(f(x)= x^3 - 3x^2 + 3x\)

\(f´(x)= 3x^2 - 6x + 3\)

\(f´(x)= 0\)→Extremwerte

\( 3x^2 - 6x + 3=0\)

\( x^2 - 2x + 1=0\)

\( (x-1)^2=0\)

\(x=1\)   \(f(1)= 1- 3 + 3=1\)

Art des Extremwertes:

\(f´´(x)= 6x - 6\)   \(f´´(1)= 0\)   →Sattelpunkt

\(f´´´(x)= 6≠0\)→Sattelpunkt

Wendepunkt:

\(f´´(x)= 6x - 6\)

\(6x - 6=0\)

\(x=1\)  \(f(1)=1\)

Steigung beim Wendepunkt:

\(f´(1)= 3 - 6 + 3=0\) waagerechte Tangente. Beim Sattelpunkt ist somit eine waagerechte Tangente.