Bestimmen Sie eine Funktiongleichung der ganzrationalen Funktion zweiten Grades, deren Graph durch die Punkte …

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine Funktiongleichung der ganzrationalen Funktion zweiten Grades, deren Graph durch die Punkte A(0I-1,5) B(-3I0) C(-1I-2) verläuft.

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits die x-Werte der Punkte jeweils in die Funktion eingesetzt, jetzt weiß ich nicht wie ich weiter machen soll. Wir haben das mit dem Additionsverfahren gemacht aber ich habe das nicht verstanden.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Eine ganzrationale Funktion 2-ten Grades ist eine Parabel. Von dieser Parabel kennst du bereits die Nullstelle \((-3|0)\). Daher muss ihr Funktionsterm den Linearfaktor \((x+3)\) enthalten. Das führt uns auf den Ansatz:$$f(x)=(x+3)\cdot(ax+b)$$

Da die Funktion auch den Punkt \((0|-1,5)\) enthalten soll, können wir \(b\) bestimmen:$$-1,5=f(0)=(0+3)\cdot(a\cdot0+b)=3b\implies b=-0,5=-\frac12$$Das liefert uns:$$f(x)=(x+3)\cdot\left(ax-\frac12\right)$$

Den Wert für \(a\) erhalten wir durch Einsetzen des letzten Punktes \((-1|-2)\):$$-2=f(-1)=(-1+3)\cdot\left(-a-\frac12\right)=-2a-1\implies 2a=1\implies a=\frac12$$

Damit haben wir die gesuchte Funktion gefunden:$$f(x)=(x+3)\cdot\left(\frac12x-\frac12\right)=\pink{\frac12(x+3)(x-1)}=\color{blue}\frac12\left(x^2+2x-3\right)$$

~plot~ 1/2*(x+3)*(x-1) ; {0|-1,5} ; {-3|0} ; {-1|-2} ~plot~

Comments

Also muss man da gar nicht 3 Gleichungen untereinander in so einem additionsverfahren lösen?

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Eigentlich muss man nur recht selten alle Gleichungen aufstellen. Meistens kann man die Funktion aus den einzelnen Punkten stückweise konstruieren. Das Verfahren mit dem Aufstellen der Gleichungen ist mir fast immer zu fummelig beim Rechnen, funktioniert aber immer.

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Das kannst du machen.

Allgemeine Form einer Parabelgleichung:

\(f(x)=ax^2+bx+c\)

Du setzt für x und f(x) die Koordinaten der Punkte ein.

\(A(0\mid-1,5)\quad -1,5=0x^2+0x+c\Rightarrow c=-1,5\\\)

Jetzt suchst du nur noch a und b.

\(B(-3\mid 0)\qquad 0=9a-3b-1,5\\ C(-1\mid-2)\quad -2=a-b-1,5\)

zusammengefasst:

\(9a-3b=1,5\\ a-b=-0,5\)

Jetzt kannst du das Additionsverfahren anwenden (oder das Einsetzungsverfahren).

\(9a-3b=1,5\\ -3a+3b=1,5\)

ergibt \(6a=3\rightarrow a=\frac{1}{2}\)

Damit lautet die Gleichung

\(f(x)=\frac{1}{2}x^2+x-1,5\)

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So kommt mir das auch am ehesten bekannt vor :D

Answer 2

Bestimmen Sie eine Funktiongleichung der ganzrationalen Funktion zweiten Grades, deren Graph durch die Punkte A(0I-1,5) B(-3I0) C(-1I-2) verläuft.

f(x)=a•x^2+b•x+c

A(0I-1,5)

1.)f(0)=c=-1,5

B(-3I0) 

f(x)=a•x^2+b•x-1,5

f(-3)=9a-3b-1,5

2.)9a-3b-1,5=0  → 9a-3b=1,5→ 3a-b=0,5      → b=3a-0,5  ∈ 3.) a-(3a-0,5)=-0,5   → a=0,5 →    b=1

C(-1I-2) verläuft.

f(-1)=a-b-1,5

3.)a-b-1,5=-2→  a-b=-0,5

f(x)=0,5•x^2+x-1,5