Bestimme das Volumenintegral über eine Kugel in Kugelkoordinaten und über einen Zylinder in Zylinderkoordinaten

Question

Aufgabe:

Bestimme das Volumenintegral über eine Kugel in Kugelkoordinaten und über einen Zylinder in Zylinderkoordinaten

Problem/Ansatz:

Ich kenne die Lösungsmethode mit der Jacobimatrix. Damit bin ich bei beiden Fällen auf die richtige Lösung gekommen (Kugel: dV = r^2 sin(theta)drdthetadphi -> 4/3 Pi r^3; Zylinder: dV = r drdthetadphi -> Pi R^2 h

In den Lösungen wurde jedoch über das absolute Differential gerechnet, wovon ich noch nie gehört habe.

dV = dx1dx2dx3

Ich habe dx1, dx2 & dx3 jetzt alle ausgerechnet, aber ich weiß nicht, wie ich jetzt richtig damit auf dV komme? Ich habe versucht, das zu multiplizieren, habe die Integrale gebildet, im Internet stand irgendwo, dass ich eigentlich addieren soll, aber ich bin im keinen Fall auf die richtige Lösung von dV gekommen.

Kugel:

dx1 = sin(theta)cos(phi)dr + rcos(theta)cos(phi)dtheta - rsin(theta)sin(phi)dphi

dx2 = sin(theta)sin(phi)dr + rcos(theta)sin(phi)dtheta + rsin(theta)cos(phi)dphi

dx3 = cos(theta)dr - sin(theta)dtheta

Zylinder:

dx1 = cos(phi)dr - rsin(phi)dphi

dx2 = sin(phi)dr + rcos(phi)dphi

dx3 = dz

Wie komme ich denn von da auf dV? Kann mir da jemand helfen ohne viele Fachbegriffe zu verwenden, die man in der Schule noch nicht hat? LG

Answer 1

Hallo

 über dV= dx1dx2dx3 integriert man wenn das Volumen über x1,x2,x3 gegeben ist, also etwa die Kugel als x1^2+x2^2+x3^2=R^2 gegeben ist.

die Jakobimatrix brauchst du doch gerade um statt über dx1dx2dx2  über r,φ,Θ zu integrieren.

Gruß lul