Hilfe bei Untersummenberechnung

Question

Aufgabe:

Wie berechnet man die Untersumme der Funktion f(x) = 1-x^2…

Interval 0,1
Problem/Ansatz:

Wir rechnen dann b* ( h1 + h2 + h3 + h4)

b = 1/4

U4 = 1/4 * ( -1*(0 * 1/4)^2 …. + 1/4*(3*1/4)^2 ) + 1

U4 = (1/4)^3 *(-1) * [18] = -0,28125

Gerne würde ich ein Foto der kompletten Rechnung hochladen aber das darf man ja leider nicht oder?

Answer 1

Hallo

bei der Untersumme musst du doch immer das niedrigere Ende des Intervalls nehmen. Da 1-x^2  fällt also das rechte, dann hast du  mit Unterteilung in 4 Teile

U=1/4((1-(1/4)^2+(1-(2/4)^2)+(1-(3/4^2)+1-1^2)=1/4*(3-1/16-4/16-9/16)

irgendwie hast du für die h nicht h=1-x^2 an den entsprechenden Stellen eingesetzt. Wenn du ne Skizze von 1-x^2 machst solltest du auch sehen, dass sicher nichts negatives, und nichts so kleines rauskommen kann!

Gruß lul

Comments

PS: Wenn du Geogebra nutzt, dann hat er einen Befehl für die Darstellung der Untersumme.

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Hallo Mathecoach, den geogebra Befehl   kenn ich nicht, verrätst du ihn bitte

lula

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Der lautet einfach UNTERSUMME(f(x), von, bis, anzahl). Probier es einfach mal aus. Es gibt übrigens auch OBERSUMME.

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Danke mathecoach

lul

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Wir haben solche Rechenwege. Wir hatten ein ausführliches Beispiel und nach dem haben wir die anderen gemacht. Wir schreiben auch für die Breiten der Abschnitte immer 0* 1/4, 1*1/4, 2*1/4, 3*1/4 und alle dann hoch 2.

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}f(x)=1-x^{2} \quad 1=(0 / 1) \quad b=0,25 \\ u_{4}=b \cdot\left(h_{1}+h_{2}+h_{3}+h_{4}\right) \\ u_{4}=\frac{1}{4} \cdot\left(f\left(0 \cdot \frac{1}{4}\right)+\ldots+f\left(3 \cdot \frac{1}{4}\right)\right. \\ u_{4}=\frac{1}{4} \cdot\left[-1 \cdot\left(0 \cdot \frac{1}{4}\right)^{2}+1+\ldots+-1 \cdot\left(3 \cdot \frac{1}{4}\right)^{2}+1\right] \\ u_{4}=\frac{1}{4} \cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{2} \cdot\left[\left(-1 \cdot 0^{2}+1\right)+\ldots+\left(-1 \cdot 3^{2}+1\right)\right] \\ u_{4}=\left(\frac{1}{4}\right)^{3} \cdot(-1) \cdot\left[\left(0^{2}+1\right)+\ldots+\left(3^{2}+1\right)\right] \\ u_{4}=\left(\frac{1}{4}\right)^{3} \cdot(-1) \cdot[18] \\ u_{4}=-0,28125\end{array} \)

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}f(x)=1-x^{2} \quad 1=(0 / 1) \quad b=0,25 \\ u_{4}=b \cdot\left(h_{1}+h_{2}+h_{3}+h_{4}\right) \\ u_{4}=\frac{1}{4} \cdot\left(f\left(0 \cdot \frac{1}{4}\right)+\ldots+f\left(3 \cdot \frac{1}{4}\right)\right. \\ u_{4}=\frac{1}{4} \cdot\left[-1 \cdot\left(0 \cdot \frac{1}{4}\right)^{2}+1+\ldots+-1 \cdot\left(3 \cdot \frac{1}{4}\right)^{2}+1\right] \\ u_{4}=\frac{1}{4} \cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{2} \cdot\left[\left(-1 \cdot 0^{2}+1\right)+\ldots+\left(-1 \cdot 3^{2}+1\right)\right] \\ u_{4}=\left(\frac{1}{4}\right)^{3} \cdot(-1) \cdot\left[\left(0^{2}+1\right)+\ldots+\left(3^{2}+1\right)\right] \\ u_{4}=\left(\frac{1}{4}\right)^{3} \cdot(-1) \cdot[18] \\ u_{4}=-0,28125\end{array} \)

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Da die Funktion im betrachteten Intervall monoton fällt, musst du für eine Untersumme in jedem Streifen den Funktionswert am RECHTEN Intervallrand nehmen.

Der Faktor (-1) gehört übrigens nur zu den 4 Quadraten und NICHT zu den 4 Summanden 1.

Richtig wäre

\( \frac{1}{4} (1+1+1+1-(0,25²+0,5²+0,75²+1²))\)

Dass deine Lösung Unfug ist hättest du schon daran merken müssen, dass das Ergebnis hier nicht negativ sein kann.

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Wir haben solche Rechenwege. Wir hatten ein ausführliches Beispiel und nach dem haben wir die anderen gemacht. Wir schreiben auch für die Breiten der Abschnitte immer 0* 1/4, 1*1/4, 2*1/4, 3*1/4 und alle dann hoch 2.  Ich dachte das wäre dann überall der selbe Rechenweg - leider haben wir es nicht erklärt bekommen

Text erkannt:

Aufgabe 3 :
c)
\( \begin{array}{l} f(x)=\frac{1}{2} x^{2} \quad 1=[0 ; 1] \\ U_{4}=6 \cdot h_{1}+b \cdot h_{2}+6 \cdot h_{3}+6 \cdot h_{4} \\ =6 \cdot\left[h_{1}+h_{2}+h_{3}+h_{4}\right] \\ I=\frac{1}{4}\left[f\left(0 \cdot \frac{1}{4}\right)+f\left(1 \cdot \frac{1}{4}\right)+f\left(2 \cdot \frac{1}{4}\right)+f\left(3 \cdot \frac{1}{4}\right)\right] \\ f(x)=\frac{1}{2} x^{2} \\ I=\frac{1}{4}\left[\left(\frac{1}{2} \cdot\left(0 \cdot \frac{1}{4}\right)^{2}\right)+\left(\frac{1}{2} \cdot\left(1 \cdot \frac{1}{4}\right)^{2}\right)+\left(\frac{1}{2} \cdot\left(2 \cdot \frac{1}{4}\right)^{2}\right)+\left(\frac{1}{2} \cdot\left(3 \cdot \frac{1}{4}\right)^{2}\right]\right. \\ \left.=\frac{1}{4} \cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{2}\right]\left[\left(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}\right)+\left(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}\right)+\left(\frac{1}{2} \cdot 2^{2}\right)+\left(\frac{1}{2} \cdot 3^{2}\right]=\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{3}\right]\left[0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}\right] \\ =0,109375 \\ \end{array} \)

Wir hatten es an diesem Beispiel gezeigt bekommen aber sonst nicht

Text erkannt:

Aufgabe 3 :
c)
\( \begin{array}{l} f(x)=\frac{1}{2} x^{2} \quad 1=[0 ; 1] \\ U_{4}=6 \cdot h_{1}+b \cdot h_{2}+6 \cdot h_{3}+6 \cdot h_{4} \\ =6 \cdot\left[h_{1}+h_{2}+h_{3}+h_{4}\right] \\ I=\frac{1}{4}\left[f\left(0 \cdot \frac{1}{4}\right)+f\left(1 \cdot \frac{1}{4}\right)+f\left(2 \cdot \frac{1}{4}\right)+f\left(3 \cdot \frac{1}{4}\right)\right] \\ f(x)=\frac{1}{2} x^{2} \\ I=\frac{1}{4}\left[\left(\frac{1}{2} \cdot\left(0 \cdot \frac{1}{4}\right)^{2}\right)+\left(\frac{1}{2} \cdot\left(1 \cdot \frac{1}{4}\right)^{2}\right)+\left(\frac{1}{2} \cdot\left(2 \cdot \frac{1}{4}\right)^{2}\right)+\left(\frac{1}{2} \cdot\left(3 \cdot \frac{1}{4}\right)^{2}\right]\right. \\ \left.=\frac{1}{4} \cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{2}\right]\left[\left(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}\right)+\left(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}\right)+\left(\frac{1}{2} \cdot 2^{2}\right)+\left(\frac{1}{2} \cdot 3^{2}\right]=\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{3}\right]\left[0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}\right] \\ =0,109375 \\ \end{array} \)

Answer 2

Mach dir gerne zuerst eine Wertetabelle, wenn das damit besser klappt:

x	0	0.25	0.5	0.75	1
f(x)	1	0.9375	0.75	0.4375	0

U4 = 0.25 * (0.9375 + 0.75 + 0.4375 + 0) = 17/32 = 0.53125

Skizze