Wie berechne ich die Untersumme bei f(x)=2x+1 im Intervall I[0;b]?

Question

Aufgabe: Berechne die Untersumme Un und die Obersumme On zur Funktion f mit ()=2+1 über
dem Intervall [0; b]

Problem/Ansatz:

Ober- und Untersumme berechnen in Intervallen wie [0;1] etc. kann ich, aber mit h=b/n komme ich nicht klar beim Ausklammern bzw. bei der Vereinfachung zur Summenformel

Was muss hier ausgeklammert werden:

Un=???[1+2+3...n-1]+???

Obersumme wäre ja analog dazu.. Von da könnte ich dann wieder alleine weiter.

Danke für eure Hilfe :)

Answer 1

$$\sum \limits_{k=0}^{n-1}\frac{b}{n}\cdot f(\frac{k \cdot b}{n}) =\frac{b}{n}\cdot \sum \limits_{k=0}^{n-1}f(\frac{k \cdot b}{n})$$$$ =\frac{b}{n}\cdot \sum \limits_{k=0}^{n-1}(2(\frac{k \cdot b}{n})+1) =\frac{b}{n}\cdot (\sum \limits_{k=0}^{n-1}(2\frac{k \cdot b}{n})+\sum \limits_{k=0}^{n-1}1)$$$$ =\frac{b}{n}(\frac{2b}{n}\cdot (\sum \limits_{k=0}^{n-1}k)+n) =\frac{b}{n}\frac{2b}{n}\cdot \frac{n(n-1)}{2}+\frac{b}{n}\cdot n)$$$$ =\frac{2b^2(n^2 - n )}{2n^2}+b =\frac{b^2(n^2 - n )}{n^2}+b$$

und für n gegen unendlich geht vdas gegen b^2 + b .

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Vielen Dank für die schnelle Antwort :)