Wie kommt man da auf (D=D´*cos^2(a))? Sollte es nicht einfach D=D`*cos(a) sein?

Question

Aufgabe:

Wie kommt man da auf (D=D´*cos^2(a))? Bzw. wie würde man die herleiten? Hat das mit dem Messverfahren zu tun (Prisma und montierte Messlatte auf dem Baum)?

Answer 1

Ich würde auch sagen das ist einfach

cos(α) = D/D' bzw. D = D'·cos(α)

Es ist doch erstmal grundsätzlich egal, wie die Länge D' gemessen wird. Davon kann das ja nicht abhängen.

Du kannst ja zur Sicherheit nochmals die Lehrkraft fragen, ob da etwas ist, was wir beide übersehen.

Comments

Das hier hätte ich noch erwähnen sollen. Wäre eben die Erklärung, warum man diese Korrektur durchführen sollte, verstehe aber grundsätzlich immer noch nicht, wie man dann da auf D=D'*cos^2(a) kommt.

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Ah. Jetzt verstehe ich es.

Es wird aufgrund der nicht senkrechten Messlatte bezüglich der Blickrichtung nicht genau D' gemessen.

Also was du für D' hältst, ist gar nicht D' !

Das ist aber in der Skizze auch nicht wirklich deutlich gemacht worden.

Wenn die Messlatte nicht senkrecht zur Blickrichtung steht, sondern um den Winkel α gedreht ist, erscheint sie ja kleiner. Dabei gilt für die die optische Höhe der Messlatte

cos(α) = s'/s → s' = cos(α) * s

Bei mir ist s die wirkliche Länge der Messlatte und s' die erscheinende kleinere Länge der Messlatte senkrecht zur Blickrichtung.

Dadurch bekommst du jetzt den Faktor cos(α) doppelt. Ist das so klar?

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Danke für die Aufklärung. Grundsätzlich verstehe ich die Idee dahinter schon, ich glaube mein Problem ist eher, dass es an meine mathematischen Fähigkeiten scheitert. Ich habe jetzt das kleinere "Messlatte" Dreieck gebildet, also verstehe ich Ihre s' = cos(a) * s Rechnung. Muss man dies jetzt in der originalen Rechnung, D = D' * cos(a) einsetzen?

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Ist das Stab gedreht wirkt er ja kleiner. D.h. man nimmt an das die Entfernung größer ist. Und zwar genau um den Faktor 1/cos(α).

Daher müssen wir die angenommene Streckenlänge D'' mit diesem Faktor korrigieren. D' = D'' * cos(α)

Falsch ist eben die Beschriftung D' in der Skizze. Weil die Strecke ja nicht wirklich D' lang ist. Aufgrund der Messung ergab sich D'' und daraus ergibt sich der wahre Wert über D' = D'' * cos(α).

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Tut mir Leid, ich verstehe es immer noch nicht. Erstens, woher kommt jetzt der Faktor 1/cos(a)? Wie kommt man konkret auf cos^2(a)? Da muss es doch eine Substitution von irgendeinen von den Variablen geben, damit cos(a)*cos(a) multipliziert wird. Und wenn Sie meinen, dass die Beschriftung D' in der Skizze nicht stimmt. Würde dann die eigentliche Horizontaldistanz Gleichung, so aussehen?

D = D'' * cos^2(a)

mit Rechenweg

cos(a) = D/D'

D' = D'' * cos(a)

Und D'' * cos(a), bekommt man, weil man die Messlatte Dreieck bildete (s' = cos(a) * s), und s ist nichts anderes als D'', weil das Verhältnis s'/s = D/D'' übereinstimmt.

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D'' ist Länge nach Berechnung. Die wirkliche Länge D' ergibt sich dann aus D' = D'' * cos(α)

Und

D = D' * cos(α)

also

D = (D'' * cos(α)) * cos(α) = D'' * cos^2(α)

Der Fehler im Buch war eben nur eine Strecke mit D' zu bezeichnen, was gar nicht D' ist.